Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x^{2} + 2 x}{3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + 2 x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Étape 1.2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Étape 1.2.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Étape 1.2.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Étape 1.2.5

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Étape 1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Étape 1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.6.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 + 2 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Étape 1.2.6.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - lim_{x \to - 1} 3}$

Étape 1.3.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 1} \cos (- 1 - x) - lim_{x \to - 1} 3}$

Étape 1.3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{3 \cos (lim_{x \to - 1} - 1 - x) - lim_{x \to - 1} 3}$

Étape 1.3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{3 \cos (- lim_{x \to - 1} 1 - lim_{x \to - 1} x) - lim_{x \to - 1} 3}$

Étape 1.3.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{3 \cos (- 1 \cdot 1 - lim_{x \to - 1} x) - lim_{x \to - 1} 3}$

Étape 1.3.6

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{3 \cos (- 1 \cdot 1 - lim_{x \to - 1} x) - 1 \cdot 3}$

Étape 1.3.7

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{0}{3 \cos (- 1 \cdot 1 + 1) - 1 \cdot 3}$

Étape 1.3.7.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.7.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{3 \cos (- 1 + 1) - 1 \cdot 3}$

Étape 1.3.7.2.1.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0}{3 \cos (0) - 1 \cdot 3}$

Étape 1.3.7.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}$

Étape 1.3.7.2.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Étape 1.3.7.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Étape 1.3.7.2.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.7.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.7.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x^{2} + 2 x}{3 \cos (- 1 - x) - 3} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 \cos (- 1 - x) - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x)] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x)] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x)]$ .

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Étape 3.6.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cos (- 1 - x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\cos (- 1 - x)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 \frac{d}{d x} [\cos (- 1 - x)] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = - 1 - x$ .

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Étape 3.6.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 1 - x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [- 1 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.6.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [- 1 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.6.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 1 - x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) \frac{d}{d x} [- 1 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.6.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) (\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.6.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.6.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) (0 - \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.6.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) (0 - 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.6.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) (0 - 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.6.8

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.6.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (1 \sin (- 1 - x)) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.6.10

Multipliez $\sin (- 1 - x)$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 \sin (- 1 - x) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 \sin (- 1 - x) + 0}$

Étape 3.8

Additionnez $3 \sin (- 1 - x)$ et $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 \sin (- 1 - x)}$

Étape 4

Comme la fonction approche de $- \infty$ depuis la gauche et $\infty$ depuis la droite, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$