Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$

Étape 1

Écrivez $e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$ comme une fonction.

$f (x) = e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x}) d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- 3 e^{- 2 x}) d x$

Étape 4.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\int e^{x} + e^{x} (- 3 e^{- 2 x}) d x$

Étape 4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int e^{x} - 3 e^{x} e^{- 2 x} d x$

Étape 4.4

Multipliez $e^{x}$ par $e^{- 2 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1

Déplacez $e^{- 2 x}$ .

$\int e^{x} - 3 (e^{- 2 x} e^{x}) d x$

Étape 4.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int e^{x} - 3 e^{- 2 x + x} d x$

Étape 4.4.3

Additionnez $- 2 x$ et $x$ .

$\int e^{x} - 3 e^{- x} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int e^{x} d x + \int - 3 e^{- x} d x$

Étape 6

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$e^{x} + C + \int - 3 e^{- x} d x$

Étape 7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x} + C - 3 \int e^{- x} d x$

Étape 8

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 8.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 8.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{x} + C - 3 \int - e^{u} d u$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x} + C - 3 (- \int e^{u} d u)$

Étape 10

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$e^{x} + C + 3 \int e^{u} d u$

Étape 11

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{x} + C + 3 (e^{u} + C)$

Étape 12

Simplifiez

$e^{x} + 3 e^{u} + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$ .

$F (x) =$ $e^{x} + 3 e^{- x} + C$