Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (\frac{x}{4})}{x}$

Étape 1

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sin (\frac{x}{4})}{x}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$4 \frac{lim_{x \to 0} \sin (\frac{x}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$4 \frac{\sin (lim_{x \to 0} \frac{x}{4})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.2

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 \frac{\sin (\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$4 \frac{\sin (\frac{1}{4} \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$4 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$4 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$4 (\frac{0}{0})$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (\frac{x}{4})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{4})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{4})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{4}$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{4}$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{x}{4}) \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4

Associez $\frac{1}{4}$ et $\cos (\frac{x}{4})$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.6

Multipliez $\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4}$ par $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4}}{1}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{x}{4})}{4} \cdot 1$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4}$ par $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{x}{4})}{4}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 (\frac{1}{4}) lim_{x \to 0} \cos (\frac{x}{4})$

Étape 3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$4 (\frac{1}{4}) \cos (lim_{x \to 0} \frac{x}{4})$

Étape 3.3

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 (\frac{1}{4}) \cos (\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x)$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$4 (\frac{1}{4}) \cos (\frac{1}{4} \cdot 0)$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{1}{4}) \cos (\frac{1}{4} \cdot 0)$

Étape 5.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 \cos (\frac{1}{4} \cdot 0)$

Étape 5.2

Multipliez $\cos (\frac{1}{4} \cdot 0)$ par $1$ .

$\cos (\frac{1}{4} \cdot 0)$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$\cos (0)$

Étape 5.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1$