Calcul infinitésimal Exemples

Let $h (x) = \frac{e^{x}}{x - 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x e^{x} - 1 e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.4.2.1

Réécrivez $- 1 e^{x}$ comme $- e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.2

Soustrayez $e^{x}$ de $- e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{x} x - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.4.4

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x - 2 e^{x}$ .

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Étape 1.1.4.4.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.4.4.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- 2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.4.4.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2$ .

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $h (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$e^{x} (x - 2) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 2.3.2.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 2.3.2.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.3.2.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.3.3

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.3.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{x} (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 4

Évaluez $\frac{e^{x}}{x - 1}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$\frac{e^{2}}{(2) - 1}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{e^{2}}{1}$

Étape 4.1.2.2

Divisez $e^{2}$ par $1$ .

$e^{2}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{e^{1}}{(1) - 1}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{e^{1}}{0}$

Étape 4.2.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(2, e^{2})$

Étape 5