Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x}$ comme $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}$

Étape 2

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}$

Étape 3

Réécrivez $x \ln (\frac{x + 1}{x - 1})$ comme $\frac{\ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{\frac{1}{x}}}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 4.1.2.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x - 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.3

Évaluez la limite.

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Étape 4.1.2.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.3.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.5

Évaluez la limite.

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Étape 4.1.2.5.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.5.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1 - 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.2.7.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 - 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.7.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.7.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 + 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.7.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.7.3

Divisez $1$ par $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2.7.4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 4.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 4.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x - 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x - 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

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Étape 4.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x + 1}{x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.4

Multipliez $\frac{x - 1}{x + 1}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.5

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.10

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.14

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.15

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.16

Multipliez $\frac{x - 1}{x + 1}$ par $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.17

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.17.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x + 1) {(x - 1)}^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) (x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.17.2

Annulez le facteur commun.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) (x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.17.3

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.18

Simplifiez

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Étape 4.3.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.18.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.18.2.1

Associez les termes opposés dans $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ .

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Étape 4.3.18.2.1.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.18.2.1.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.18.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 - 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.18.2.3

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.18.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.19

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Étape 4.3.20

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{- x^{- 2}}}$

Étape 4.3.21

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

Étape 4.5

Combinez les facteurs.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} x^{2}}$

Étape 4.5.2

Multipliez $\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} x^{2}}$

Étape 4.5.3

Associez $\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ et $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$

Étape 5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$

Étape 6

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 6.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 6.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x - 1)}}$

Étape 6.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x - 1)}}$

Étape 6.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 6.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x (x - 1) + 1 (x - 1)}}$

Étape 6.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}}$

Étape 6.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Étape 6.1.3.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Étape 6.1.3.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Étape 6.1.3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Étape 6.1.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Étape 6.1.3.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 6.1.3.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Étape 6.1.3.8.2

Simplifiez

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Étape 6.1.3.8.2.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}}$

Étape 6.1.3.8.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x - 1}}$

Étape 6.1.3.8.3

Additionnez $- 1 x$ et $x$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} + 0 - 1}}$

Étape 6.1.3.8.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1}}$

Étape 6.1.3.9

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Étape 6.1.3.10

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Étape 6.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Étape 6.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}$

Étape 6.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 6.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}}$

Étape 6.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}}$

Étape 6.3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x - 1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Étape 6.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Étape 6.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Étape 6.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Étape 6.3.7

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Étape 6.3.8

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Étape 6.3.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}}$

Étape 6.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}}$

Étape 6.3.11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) (1 + 0)}}$

Étape 6.3.12

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) \cdot 1}}$

Étape 6.3.13

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + x - 1}}$

Étape 6.3.14

Additionnez $x$ et $x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x + 1 - 1}}$

Étape 6.3.15

Soustrayez $1$ de $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x + 0}}$

Étape 6.3.16

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}$

Étape 6.4

Réduisez.

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}$

Étape 6.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}$

Étape 6.4.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}$

Étape 6.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{2 lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{2 \cdot 1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$e^{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$e^{2}$

Forme décimale :

$7.38905609 \dots$