Calcul infinitésimal Exemples

$h (t) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $60 - 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [60] + \frac{d}{d t} [- 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})]$ .

$\frac{d}{d t} [60] + \frac{d}{d t} [- 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})]$

Étape 1.1.2

Comme $60$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $60$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})]$ .

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Étape 1.2.1

Associez $\frac{π}{10}$ et $t$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 55 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})]$

Étape 1.2.2

Comme $- 55$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 55 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$ par rapport à $t$ est $- 55 \frac{d}{d t} [\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})]$ .

$0 - 55 \frac{d}{d t} [\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \sin (t)$ et $g (t) = \frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

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Étape 1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

$0 - 55 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}])$

Étape 1.2.3.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$0 - 55 (\cos (u) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}])$

Étape 1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}])$

Étape 1.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\frac{π t}{10}] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d t} [\frac{π t}{10}] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]))$

Étape 1.2.5

Comme $\frac{π}{10}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{π t}{10}$ par rapport à $t$ est $\frac{π}{10} \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (\frac{π}{10} \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]))$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (\frac{π}{10} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]))$

Étape 1.2.7

Comme $\frac{π}{2}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{π}{2}$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (\frac{π}{10} \cdot 1 + 0))$

Étape 1.2.8

Multipliez $\frac{π}{10}$ par $1$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (\frac{π}{10} + 0))$

Étape 1.2.9

Additionnez $\frac{π}{10}$ et $0$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) \frac{π}{10})$

Étape 1.2.10

Associez $\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$ et $\frac{π}{10}$ .

$0 - 55 \frac{\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{10}$

Étape 1.2.11

Associez $- 55$ et $\frac{\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{10}$ .

$0 + \frac{- 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π)}{10}$

Étape 1.2.12

Annulez le facteur commun à $- 55$ et $10$ .

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Étape 1.2.12.1

Factorisez $5$ à partir de $- 55 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π$ .

$0 + \frac{5 (- 11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π)}{10}$

Étape 1.2.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.12.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$0 + \frac{5 (- 11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π)}{5 (2)}$

Étape 1.2.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{5 (- 11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π)}{5 \cdot 2}$

Étape 1.2.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{- 11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$

Étape 1.2.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - \frac{11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Soustrayez $\frac{11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$ de $0$ .

$- \frac{11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$

Étape 1.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$ .

$- \frac{11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- \frac{11 π}{2}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{2}$ par rapport à $t$ est $- \frac{11 π}{2} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})]$ .

$h'' (t) = - \frac{11 π}{2} \cdot \frac{d}{d t} \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \cos (t)$ et $g (t) = \frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

$h'' (t) = - \frac{11 π}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$h'' (t) = - \frac{11 π}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

$h'' (t) = - \frac{11 π}{2} \cdot (- \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}))$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$h'' (t) = 1 (\frac{11 π}{2}) \cdot (\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}))$

Étape 2.3.2

Associez les fractions.

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $\frac{11 π}{2}$ par $1$ .

$h'' (t) = \frac{11 π}{2} \cdot (\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}))$

Étape 2.3.2.2

Associez $\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$ et $\frac{11 π}{2}$ .

$h'' (t) = \frac{\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (11 π)}{2} \cdot \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$

Étape 2.3.2.3

Déplacez $11$ à gauche de $\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$ .

$h'' (t) = \frac{11 \cdot (\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π)}{2} \cdot \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\frac{π t}{10}] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot (\frac{d}{d t} (\frac{π t}{10}) + \frac{d}{d t} (\frac{π}{2}))$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{π}{10}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{π t}{10}$ par rapport à $t$ est $\frac{π}{10} \frac{d}{d t} [t]$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot (\frac{π}{10} \cdot \frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (\frac{π}{2}))$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot (\frac{π}{10} \cdot 1 + \frac{d}{d t} (\frac{π}{2}))$

Étape 2.3.6

Multipliez $\frac{π}{10}$ par $1$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot (\frac{π}{10} + \frac{d}{d t} (\frac{π}{2}))$

Étape 2.3.7

Comme $\frac{π}{2}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{π}{2}$ par rapport à $t$ est $0$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot (\frac{π}{10} + 0)$

Étape 2.3.8

Associez les fractions.

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Étape 2.3.8.1

Additionnez $\frac{π}{10}$ et $0$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot \frac{π}{10}$

Étape 2.3.8.2

Multipliez $\frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$ par $\frac{π}{10}$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π π}{2 \cdot 10}$

Étape 2.4

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (π π)}{2 \cdot 10}$

Étape 2.5

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (π π)}{2 \cdot 10}$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π^{1 + 1}}{2 \cdot 10}$

Étape 2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π^{2}}{2 \cdot 10}$

Étape 2.8

Multipliez $2$ par $10$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π^{2}}{20}$

Étape 2.9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π^{2}$ .

$h'' (t) = \frac{11 π^{2} \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{20}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{2} = 0$

Étape 4

Définissez le numérateur égal à zéro.

$11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = 0$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $t$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = 0$ par $11 π$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = 0$ par $11 π$ .

$\frac{11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{11 π} = \frac{0}{11 π}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{11 π} = \frac{0}{11 π}$

Étape 5.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{11 π}$

Étape 5.1.2.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 5.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{11 π}$

Étape 5.1.2.2.2

Divisez $\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$ par $1$ .

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = \frac{0}{11 π}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $11$ .

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Étape 5.1.3.1.1

Factorisez $11$ à partir de $0$ .

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = \frac{11 (0)}{11 π}$

Étape 5.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.3.1.2.1

Factorisez $11$ à partir de $11 π$ .

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = \frac{11 (0)}{11 (π)}$

Étape 5.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = \frac{11 \cdot 0}{11 π}$

Étape 5.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = \frac{0}{π}$

Étape 5.1.3.2

Divisez $0$ par $π$ .

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = 0$

Étape 5.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $t$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \arccos (0)$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 5.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $t$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.4.1

Soustrayez $\frac{π}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{π t}{10} = \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π t}{10} = \frac{π - π}{2}$

Étape 5.4.3

Soustrayez $π$ de $π$ .

$\frac{π t}{10} = \frac{0}{2}$

Étape 5.4.4

Divisez $0$ par $2$ .

$\frac{π t}{10} = 0$

Étape 5.5

Définissez le numérateur égal à zéro.

$π t = 0$

Étape 5.6

Divisez chaque terme dans $π t = 0$ par $π$ et simplifiez.

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Étape 5.6.1

Divisez chaque terme dans $π t = 0$ par $π$ .

$\frac{π t}{π} = \frac{0}{π}$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π t}{π} = \frac{0}{π}$

Étape 5.6.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{0}{π}$

Étape 5.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.3.1

Divisez $0$ par $π$ .

$t = 0$

Étape 5.7

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 5.8

Résolvez $t$ .

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Étape 5.8.1

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 5.8.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.8.1.2

Associez les fractions.

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Étape 5.8.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.8.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 5.8.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.8.1.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 5.8.1.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

Étape 5.8.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $t$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.8.2.1

Soustrayez $\frac{π}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{π t}{10} = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.8.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π t}{10} = \frac{3 π - π}{2}$

Étape 5.8.2.3

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$\frac{π t}{10} = \frac{2 π}{2}$

Étape 5.8.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.8.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π t}{10} = \frac{2 π}{2}$

Étape 5.8.2.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$\frac{π t}{10} = π$

Étape 5.8.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{10}{π}$ .

$\frac{10}{π} \cdot \frac{π t}{10} = \frac{10}{π} π$

Étape 5.8.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.8.4.1.1

Simplifiez $\frac{10}{π} \cdot \frac{π t}{10}$ .

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Étape 5.8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 5.8.4.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10}{π} \cdot \frac{π t}{10} = \frac{10}{π} π$

Étape 5.8.4.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{10}{π} π$

Étape 5.8.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 5.8.4.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π t$ .

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{10}{π} π$

Étape 5.8.4.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{10}{π} π$

Étape 5.8.4.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$t = \frac{10}{π} π$

Étape 5.8.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.8.4.2.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 5.8.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$t = \frac{10}{π} π$

Étape 5.8.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$t = 10$

Étape 5.9

La solution de l’équation est $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ .

$t = 0, 10$

Étape 6

Évaluez la dérivée seconde sur $t = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π (0)}{10} + \frac{π}{2})}{20}$

Étape 7

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $10$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $10$ à partir de $π (0)$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{10 (π \cdot (0))}{10} + \frac{π}{2})}{20}$

Étape 7.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.2.1

Factorisez $10$ à partir de $10$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{10 (π \cdot (0))}{10 (1)} + \frac{π}{2})}{20}$

Étape 7.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{10 (π \cdot (0))}{10 \cdot 1} + \frac{π}{2})}{20}$

Étape 7.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (0)}{1} + \frac{π}{2})}{20}$

Étape 7.1.2.4

Divisez $π \cdot (0)$ par $1$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (π \cdot (0) + \frac{π}{2})}{20}$

Étape 7.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1

Multipliez $π$ par $0$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (0 + \frac{π}{2})}{20}$

Étape 7.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{π}{2}$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{20}$

Étape 7.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{11 π^{2} \cdot 1}{20}$

Étape 7.2.4

Multipliez $11$ par $1$ .

$\frac{11 π^{2}}{20}$

Étape 8

$t = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$t = 0$ est un minimum local

Étape 9

Déterminez la valeur y quand $t = 0$ .

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Étape 9.1

Remplacez la variable $t$ par $0$ dans l’expression.

$h (0) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{10} \cdot (0) + \frac{π}{2})$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Multipliez $\frac{π}{10}$ par $0$ .

$h (0) = 60 - 55 \sin (0 + \frac{π}{2})$

Étape 9.2.1.2

Additionnez $0$ et $\frac{π}{2}$ .

$h (0) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 9.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$h (0) = 60 - 55 \cdot 1$

Étape 9.2.1.4

Multipliez $- 55$ par $1$ .

$h (0) = 60 - 55$

Étape 9.2.2

Soustrayez $55$ de $60$ .

$h (0) = 5$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $5$ .

$y = 5$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde sur $t = 10$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π (10)}{10} + \frac{π}{2})}{20}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 11.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 11.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π \cdot 10}{10} + \frac{π}{2})}{20}$

Étape 11.1.2

Divisez $π$ par $1$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (π + \frac{π}{2})}{20}$

Étape 11.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})}{20}$

Étape 11.2.2

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})}{20}$

Étape 11.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})}{20}$

Étape 11.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})}{20}$

Étape 11.2.4.2

Additionnez $2 π$ et $π$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})}{20}$

Étape 11.2.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$\frac{11 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{20}$

Étape 11.2.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{11 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{20}$

Étape 11.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{11 π^{2} \cdot - 1}{20}$

Étape 11.2.8

Multipliez $- 1$ par $11$ .

$\frac{- 11 π^{2}}{20}$

Étape 11.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{11 π^{2}}{20}$

Étape 12

$t = 10$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$t = 10$ est un maximum local

Étape 13

Déterminez la valeur y quand $t = 10$ .

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Étape 13.1

Remplacez la variable $t$ par $10$ dans l’expression.

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{10} \cdot (10) + \frac{π}{2})$

Étape 13.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 13.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.1.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 13.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{10} \cdot 10 + \frac{π}{2})$

Étape 13.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$h (10) = 60 - 55 \sin (π + \frac{π}{2})$

Étape 13.2.1.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$h (10) = 60 - 55 \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Étape 13.2.1.3

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Étape 13.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

Étape 13.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.1.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

Étape 13.2.1.5.2

Additionnez $2 π$ et $π$ .

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 13.2.1.6

$h (10) = 60 - 55 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 13.2.1.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$h (10) = 60 - 55 (- 1 \cdot 1)$

Étape 13.2.1.8

Multipliez $- 55 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 13.2.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$h (10) = 60 - 55 \cdot - 1$

Étape 13.2.1.8.2

Multipliez $- 55$ par $- 1$ .

$h (10) = 60 + 55$

Étape 13.2.2

Additionnez $60$ et $55$ .

$h (10) = 115$

Étape 13.2.3

La réponse finale est $115$ .

$y = 115$

Étape 14

Ce sont les extrema locaux pour $h (t) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})$ .

$(0, 5)$ est un minimum local

$(10, 115)$ est un maximum local

Étape 15