Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 - 4 x}{8 - 64 x^{3}}$

Étape 1

Annulez le facteur commun à $2 - 4 x$ et $8 - 64 x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1) - 4 x}{8 - 64 x^{3}}$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1) + 2 (- 2 x)}{8 - 64 x^{3}}$

Étape 1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- 2 x)$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - 2 x)}{8 - 64 x^{3}}$

Étape 1.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - 2 x)}{2 \cdot 4 - 64 x^{3}}$

Étape 1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 64 x^{3}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - 2 x)}{2 \cdot 4 + 2 (- 32 x^{3})}$

Étape 1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (4) + 2 (- 32 x^{3})$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - 2 x)}{2 (4 - 32 x^{3})}$

Étape 1.4.4

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - 2 x)}{2 (4 - 32 x^{3})}$

Étape 1.4.5

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1 - 2 x}{4 - 32 x^{3}}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 1 - 2 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Étape 2.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Étape 2.1.2.1.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 - 2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1 - 2 (\frac{1}{2})}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1 + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Étape 2.1.2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Étape 2.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 32 x^{3}}$

Étape 2.1.3.1.2

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{4 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 32 x^{3}}$

Étape 2.1.3.1.3

Placez le terme $32$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{4 - 32 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{3}}$

Étape 2.1.3.1.4

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{4 - 32 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3}}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{0}{4 - 32 {(\frac{1}{2})}^{3}}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{4 - 32 \frac{1^{3}}{2^{3}}}$

Étape 2.1.3.3.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{4 - 32 \frac{1}{2^{3}}}$

Étape 2.1.3.3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{0}{4 - 32 (\frac{1}{8})}$

Étape 2.1.3.3.1.4

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.3.1.4.1

Factorisez $8$ à partir de $- 32$ .

$\frac{0}{4 + 8 (- 4) \frac{1}{8}}$

Étape 2.1.3.3.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{0}{4 + 8 \cdot - 4 \frac{1}{8}}$

Étape 2.1.3.3.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{4 - 4}$

Étape 2.1.3.3.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1 - 2 x}{4 - 32 x^{3}} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Étape 2.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{0 - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Étape 2.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{0 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Étape 2.3.4.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{0 - 2}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Étape 2.3.5

Soustrayez $2$ de $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Étape 2.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - 32 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]}$

Étape 2.3.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{0 + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]}$

Étape 2.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.8.1

Comme $- 32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 32 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{0 - 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 2.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{0 - 32 (3 x^{2})}$

Étape 2.3.8.3

Multipliez $3$ par $- 32$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{0 - 96 x^{2}}$

Étape 2.3.9

Soustrayez $96 x^{2}$ de $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{- 96 x^{2}}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $- 96$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1)}{- 96 x^{2}}$

Étape 2.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 96 x^{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1)}{- 2 (48 x^{2})}$

Étape 2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 (48 x^{2})}$

Étape 2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1}{48 x^{2}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Placez le terme $\frac{1}{48}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{48} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1}{x^{2}}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{48} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{48} \cdot \frac{1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 3.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{48} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{48} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Associez.

$\frac{1 \cdot 1}{48 {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 5.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{48 {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{48 \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Étape 5.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{48 \frac{1}{2^{2}}}$

Étape 5.3.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{48 (\frac{1}{4})}$

Étape 5.4

Associez $48$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{48}{4}}$

Étape 5.5

Divisez $48$ par $4$ .

$\frac{1}{12}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{12}$

Forme décimale :

$0.08\overline{3}$