Calcul infinitésimal Exemples

$x^{5} (x + 1) (x - 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{5} (x + 1)$ et $g (x) = x - 1$ .

$x^{5} (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{5} (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{5} (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Étape 1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{5} (x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x^{5} (x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $x^{5}$ par $1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x + 1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 1.4.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 1.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 1.4.4.2

Multipliez $x^{5}$ par $1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} + (x + 1) (5 x^{4}))$

Étape 1.4.6

Déplacez $5$ à gauche de $x + 1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} + 5 \cdot (x + 1) x^{4})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) (x^{5} + 5 (x + 1) x^{4})$

Étape 1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) (x^{5} + (5 x + 5 \cdot 1) x^{4})$

Étape 1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) (x^{5} + 5 x \cdot x^{4} + 5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) x^{5} + (x - 1) (5 x \cdot x^{4}) + (x - 1) (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + (x - 1) (5 x \cdot x^{4}) + (x - 1) (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.6

Appliquez la propriété distributive.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + (x - 1) (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.7

Appliquez la propriété distributive.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.8

Associez des termes.

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Étape 1.5.8.1

Multipliez $x^{5}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.8.1.1

Multipliez $x^{5}$ par $x$ .

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Étape 1.5.8.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} x^{1} + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.8.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5 + 1} + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.8.1.2

Additionnez $5$ et $1$ .

$x^{6} + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.8.2

Multipliez $x^{5}$ par $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.8.3

Multipliez $x$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.8.3.1

Multipliez $x$ par $x^{5}$ .

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Étape 1.5.8.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{1} x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.8.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{6} + x^{5} + x^{1 + 5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.8.3.2

Additionnez $1$ et $5$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.8.4

Réécrivez $- 1 x^{5}$ comme $- x^{5}$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.8.5

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.8.5.1

Déplacez $x^{4}$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 (x^{4} x)) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.8.5.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

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Étape 1.5.8.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 (x^{4} x^{1})) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.8.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 x^{4 + 1}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.8.5.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 x^{5}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.8.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 (x^{1} x^{5}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.8.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{1 + 5} - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.8.8

Additionnez $1$ et $5$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.8.9

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.8.9.1

Déplacez $x^{4}$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 (x^{4} x)) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.8.9.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

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Étape 1.5.8.9.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 (x^{4} x^{1})) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.8.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 x^{4 + 1}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.8.9.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 x^{5}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.8.10

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.8.11

Multipliez $5$ par $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + x (5 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.8.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 (x^{1} x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.8.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{1 + 4} - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.8.14

Additionnez $1$ et $4$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{5} - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 1.5.8.15

Multipliez $5$ par $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{5} - 1 (5 x^{4})$

Étape 1.5.8.16

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{5} - 5 x^{4}$

Étape 1.5.8.17

Additionnez $- 5 x^{5}$ et $5 x^{5}$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} + 0 - 5 x^{4}$

Étape 1.5.8.18

Additionnez $5 x^{6}$ et $0$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{4}$

Étape 1.5.8.19

Additionnez $x^{6}$ et $5 x^{6}$ .

$x^{6} + x^{5} + 6 x^{6} - x^{5} - 5 x^{4}$

Étape 1.5.8.20

Additionnez $x^{6}$ et $6 x^{6}$ .

$7 x^{6} + x^{5} - x^{5} - 5 x^{4}$

Étape 1.5.8.21

Soustrayez $x^{5}$ de $x^{5}$ .

$7 x^{6} + 0 - 5 x^{4}$

Étape 1.5.8.22

Additionnez $7 x^{6}$ et $0$ .

$7 x^{6} - 5 x^{4}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{6} - 5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x^{6}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{6}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$f'' (x) = 7 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Étape 2.2.3

Multipliez $6$ par $7$ .

$f'' (x) = 42 x^{5} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 42 x^{5} - 5 \frac{d}{d x} x^{4}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 42 x^{5} - 5 (4 x^{3})$

Étape 2.3.3

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$f'' (x) = 42 x^{5} - 20 x^{3}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$7 x^{6} - 5 x^{4} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$x^{5} (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{5} (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{5} (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Étape 4.1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{5} (x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x^{5} (x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $x^{5}$ par $1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x + 1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.1.4

Différenciez.

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Étape 4.1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.1.4.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.1.4.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.1.4.4.2

Multipliez $x^{5}$ par $1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} + (x + 1) (5 x^{4}))$

Étape 4.1.4.6

Déplacez $5$ à gauche de $x + 1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} + 5 \cdot (x + 1) x^{4})$

Étape 4.1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) (x^{5} + 5 (x + 1) x^{4})$

Étape 4.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) (x^{5} + (5 x + 5 \cdot 1) x^{4})$

Étape 4.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) (x^{5} + 5 x \cdot x^{4} + 5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) x^{5} + (x - 1) (5 x \cdot x^{4}) + (x - 1) (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + (x - 1) (5 x \cdot x^{4}) + (x - 1) (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.6

Appliquez la propriété distributive.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + (x - 1) (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.7

Appliquez la propriété distributive.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.8

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.5.8.1

Multipliez $x^{5}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.8.1.1

Multipliez $x^{5}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.5.8.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} x^{1} + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.8.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5 + 1} + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.8.1.2

Additionnez $5$ et $1$ .

$x^{6} + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.8.2

Multipliez $x^{5}$ par $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.8.3

Multipliez $x$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.8.3.1

Multipliez $x$ par $x^{5}$ .

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Étape 4.1.5.8.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{1} x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.8.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{6} + x^{5} + x^{1 + 5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.8.3.2

Additionnez $1$ et $5$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.8.4

Réécrivez $- 1 x^{5}$ comme $- x^{5}$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.8.5

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.8.5.1

Déplacez $x^{4}$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 (x^{4} x)) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.8.5.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

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Étape 4.1.5.8.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 (x^{4} x^{1})) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.8.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 x^{4 + 1}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.8.5.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 x^{5}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.8.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 (x^{1} x^{5}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.8.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{1 + 5} - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.8.8

Additionnez $1$ et $5$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.8.9

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.8.9.1

Déplacez $x^{4}$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 (x^{4} x)) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.8.9.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

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Étape 4.1.5.8.9.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 (x^{4} x^{1})) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.8.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 x^{4 + 1}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.8.9.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 x^{5}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.8.10

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.8.11

Multipliez $5$ par $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + x (5 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.8.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 (x^{1} x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.8.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{1 + 4} - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.8.14

Additionnez $1$ et $4$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{5} - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Étape 4.1.5.8.15

Multipliez $5$ par $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{5} - 1 (5 x^{4})$

Étape 4.1.5.8.16

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{5} - 5 x^{4}$

Étape 4.1.5.8.17

Additionnez $- 5 x^{5}$ et $5 x^{5}$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} + 0 - 5 x^{4}$

Étape 4.1.5.8.18

Additionnez $5 x^{6}$ et $0$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{4}$

Étape 4.1.5.8.19

Additionnez $x^{6}$ et $5 x^{6}$ .

$x^{6} + x^{5} + 6 x^{6} - x^{5} - 5 x^{4}$

Étape 4.1.5.8.20

Additionnez $x^{6}$ et $6 x^{6}$ .

$7 x^{6} + x^{5} - x^{5} - 5 x^{4}$

Étape 4.1.5.8.21

Soustrayez $x^{5}$ de $x^{5}$ .

$7 x^{6} + 0 - 5 x^{4}$

Étape 4.1.5.8.22

Additionnez $7 x^{6}$ et $0$ .

$f' (x) = 7 x^{6} - 5 x^{4}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $7 x^{6} - 5 x^{4}$ .

$7 x^{6} - 5 x^{4}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $7 x^{6} - 5 x^{4} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$7 x^{6} - 5 x^{4} = 0$

Étape 5.2

Factorisez $x^{4}$ à partir de $7 x^{6} - 5 x^{4}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $7 x^{6}$ .

$x^{4} (7 x^{2}) - 5 x^{4} = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $x^{4}$ à partir de $- 5 x^{4}$ .

$x^{4} (7 x^{2}) + x^{4} \cdot - 5 = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{4} (7 x^{2}) + x^{4} \cdot - 5$ .

$x^{4} (7 x^{2} - 5) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{4} = 0$

$7 x^{2} - 5 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x^{4}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x^{4}$ égal à $0$ .

$x^{4} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $x^{4} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Étape 5.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $7 x^{2} - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $7 x^{2} - 5$ égal à $0$ .

$7 x^{2} - 5 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $7 x^{2} - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$7 x^{2} = 5$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $7 x^{2} = 5$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x^{2} = 5$ par $7$ .

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{5}{7}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{5}{7}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{5}{7}$

Étape 5.5.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{5}{7}}$

Étape 5.5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{5}{7}}$ .

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Étape 5.5.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{5}{7}}$ comme $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$

Étape 5.5.2.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Étape 5.5.2.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.2.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 5.5.2.4.3.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Étape 5.5.2.4.3.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Étape 5.5.2.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Étape 5.5.2.4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Étape 5.5.2.4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 5.5.2.4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.5.2.4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.5.2.4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.2.4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.2.4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.2.4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Étape 5.5.2.4.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7}$

Étape 5.5.2.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.2.4.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 \cdot 7}}{7}$

Étape 5.5.2.4.4.2

Multipliez $5$ par $7$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{35}}{7}$

Étape 5.5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}$

Étape 5.5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$

Étape 5.5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}, - \frac{\sqrt{35}}{7}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{4} (7 x^{2} - 5) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{\sqrt{35}}{7}, - \frac{\sqrt{35}}{7}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, \frac{\sqrt{35}}{7}, - \frac{\sqrt{35}}{7}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$42 {(0)}^{5} - 20 {(0)}^{3}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$42 \cdot 0 - 20 {(0)}^{3}$

Étape 9.1.2

Multipliez $42$ par $0$ .

$0 - 20 {(0)}^{3}$

Étape 9.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 20 \cdot 0$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 20$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{35}}{7}) \cup (- \frac{\sqrt{35}}{7}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{35}}{7}) \cup (\frac{\sqrt{35}}{7}, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 3$ , de l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{35}}{7})$ dans la dérivée première $7 x^{6} - 5 x^{4}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f' (- 3) = 7 {(- 3)}^{6} - 5 {(- 3)}^{4}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $6$ .

$f' (- 3) = 7 \cdot 729 - 5 {(- 3)}^{4}$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $7$ par $729$ .

$f' (- 3) = 5103 - 5 {(- 3)}^{4}$

Étape 10.2.2.1.3

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$f' (- 3) = 5103 - 5 \cdot 81$

Étape 10.2.2.1.4

Multipliez $- 5$ par $81$ .

$f' (- 3) = 5103 - 405$

Étape 10.2.2.2

Soustrayez $405$ de $5103$ .

$f' (- 3) = 4698$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $4698$ .

$4698$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 0.42$ , de l’intervalle $(- \frac{\sqrt{35}}{7}, 0)$ dans la dérivée première $7 x^{6} - 5 x^{4}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.42$ dans l’expression.

$f' (- 0.42) = 7 {(- 0.42)}^{6} - 5 {(- 0.42)}^{4}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.2.1.1

Élevez $- 0.42$ à la puissance $6$ .

$f' (- 0.42) = 7 \cdot 0.00548903 - 5 {(- 0.42)}^{4}$

Étape 10.3.2.1.2

Multipliez $7$ par $0.00548903$ .

$f' (- 0.42) = 0.03842322 - 5 {(- 0.42)}^{4}$

Étape 10.3.2.1.3

Élevez $- 0.42$ à la puissance $4$ .

$f' (- 0.42) = 0.03842322 - 5 \cdot 0.03111696$

Étape 10.3.2.1.4

Multipliez $- 5$ par $0.03111696$ .

$f' (- 0.42) = 0.03842322 - 0.1555848$

Étape 10.3.2.2

Soustrayez $0.1555848$ de $0.03842322$ .

$f' (- 0.42) = - 0.11716157$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $- 0.11716157$ .

$- 0.11716157$

Étape 10.4

Remplacez tout nombre, tel que $0.42$ , de l’intervalle $(0, \frac{\sqrt{35}}{7})$ dans la dérivée première $7 x^{6} - 5 x^{4}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.4.1

Remplacez la variable $x$ par $0.42$ dans l’expression.

$f' (0.42) = 7 {(0.42)}^{6} - 5 {(0.42)}^{4}$

Étape 10.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.2.1.1

Élevez $0.42$ à la puissance $6$ .

$f' (0.42) = 7 \cdot 0.00548903 - 5 {(0.42)}^{4}$

Étape 10.4.2.1.2

Multipliez $7$ par $0.00548903$ .

$f' (0.42) = 0.03842322 - 5 {(0.42)}^{4}$

Étape 10.4.2.1.3

Élevez $0.42$ à la puissance $4$ .

$f' (0.42) = 0.03842322 - 5 \cdot 0.03111696$

Étape 10.4.2.1.4

Multipliez $- 5$ par $0.03111696$ .

$f' (0.42) = 0.03842322 - 0.1555848$

Étape 10.4.2.2

Soustrayez $0.1555848$ de $0.03842322$ .

$f' (0.42) = - 0.11716157$

Étape 10.4.2.3

La réponse finale est $- 0.11716157$ .

$- 0.11716157$

Étape 10.5

Remplacez tout nombre, tel que $3$ , de l’intervalle $(\frac{\sqrt{35}}{7}, \infty)$ dans la dérivée première $7 x^{6} - 5 x^{4}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.5.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = 7 {(3)}^{6} - 5 {(3)}^{4}$

Étape 10.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.5.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $6$ .

$f' (3) = 7 \cdot 729 - 5 {(3)}^{4}$

Étape 10.5.2.1.2

Multipliez $7$ par $729$ .

$f' (3) = 5103 - 5 {(3)}^{4}$

Étape 10.5.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f' (3) = 5103 - 5 \cdot 81$

Étape 10.5.2.1.4

Multipliez $- 5$ par $81$ .

$f' (3) = 5103 - 405$

Étape 10.5.2.2

Soustrayez $405$ de $5103$ .

$f' (3) = 4698$

Étape 10.5.2.3

La réponse finale est $4698$ .

$4698$

Étape 10.6

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$ , $x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$ est un maximum local.

$x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$ est un maximum local

Étape 10.7

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 10.8

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \frac{\sqrt{35}}{7}$ , $x = \frac{\sqrt{35}}{7}$ est un minimum local.

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}$ est un minimum local

Étape 10.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{5} (x + 1) (x - 1)$ .

$x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$ est un maximum local

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}$ est un minimum local

$x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$ est un maximum local

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}$ est un minimum local

Étape 11