Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{7} \sqrt{x}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{7} x^{\frac{1}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Étape 1.2

Multipliez $x^{7}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{x^{7 + \frac{1}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Étape 1.2.2

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{x^{7 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Étape 1.2.3

Associez $7$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{x^{\frac{7 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Étape 1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{x^{\frac{7 \cdot 2 + 1}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Étape 1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.1

Multipliez $7$ par $2$ .

$\int \frac{x^{\frac{14 + 1}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Étape 1.2.5.2

Additionnez $14$ et $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{15}{2}}}{x^{5}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Étape 1.3

Placez $x^{5}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int x^{\frac{15}{2}} x^{- 5} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Étape 1.4

Multipliez $x^{\frac{15}{2}}$ par $x^{- 5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{\frac{15}{2} - 5} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Étape 1.4.2

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{15}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Étape 1.4.3

Associez $- 5$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{15}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Étape 1.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{15 - 5 \cdot 2}{2}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Étape 1.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.5.1

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\int x^{\frac{15 - 10}{2}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Étape 1.4.5.2

Soustrayez $10$ de $15$ .

$\int x^{\frac{5}{2}} - 3 \sqrt[3]{x} + 5 x^{4} - \frac{1}{2 x} + e^{x} + 2021 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{\frac{5}{2}} d x + \int - 3 \sqrt[3]{x} d x + \int 5 x^{4} d x + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C + \int - 3 \sqrt[3]{x} d x + \int 5 x^{4} d x + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

Étape 4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 \int \sqrt[3]{x} d x + \int 5 x^{4} d x + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

Étape 5

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int 5 x^{4} d x + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + \int 5 x^{4} d x + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

Étape 7

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + 5 \int x^{4} d x + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - \int \frac{1}{2 x} d x + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

Étape 10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x) + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x) + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

Étape 11.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + 5 (\frac{x^{5}}{5} + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x) + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

Étape 12

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + 5 (\frac{x^{5}}{5} + C) - (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)) + \int e^{x} d x + \int 2021 d x$

Étape 13

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + 5 (\frac{x^{5}}{5} + C) - \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + e^{x} + C + \int 2021 d x$

Étape 14

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C - 3 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + 5 (\frac{x^{5}}{5} + C) - \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + e^{x} + C + 2021 x + C$

Étape 15

Simplifiez

$\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{4} + x^{5} - \frac{\ln (| x |)}{2} + e^{x} + 2021 x + C$

Étape 16

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} - \frac{9}{4} x^{\frac{4}{3}} + x^{5} - \frac{1}{2} \ln (| x |) + e^{x} + 2021 x + C$