Calcul infinitésimal Exemples

$\int x (x^{2} + 7) (\frac{1}{3}) d x$

Étape 1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$\int \frac{x}{3} (x^{2} + 7) d x$

Étape 2

Laissez $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Alors $d u_{1} = \frac{1}{3} d x$ , donc $3 d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Étape 2.1.2

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int 3 u_{1} ({(3 u_{1})}^{2} + 7) d u_{1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 u_{1}$ .

$\int 3 u_{1} ({(3 (u_{1}))}^{2} + 7) d u_{1}$

Étape 3.2

Appliquez la règle de produit à $3 (u_{1})$ .

$\int 3 u_{1} (3^{2} {u_{1}}^{2} + 7) d u_{1}$

Étape 3.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\int 3 u_{1} (9 {u_{1}}^{2} + 7) d u_{1}$

Étape 4

Laissez $u_{2} = 9 {u_{1}}^{2} + 7$ . Alors $d u_{2} = 18 u_{1} d u_{1}$ , donc $\frac{1}{18} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{2} = 9 {u_{1}}^{2} + 7$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $9 {u_{1}}^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2} + 7]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 {u_{1}}^{2} + 7$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $9 {u_{1}}^{2}$ par rapport à $u_{1}$ est $9 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 (2 u_{1}) + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$18 u_{1} + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $7$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $7$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$18 u_{1} + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $18 u_{1}$ et $0$ .

$18 u_{1}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int 3 u_{2} \frac{1}{18} d u_{2}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{18}$ et $3$ .

$\int \frac{3}{18} u_{2} d u_{2}$

Étape 5.2

Associez $\frac{3}{18}$ et $u_{2}$ .

$\int \frac{3 u_{2}}{18} d u_{2}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun à $3$ et $18$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 u_{2}$ .

$\int \frac{3 (u_{2})}{18} d u_{2}$

Étape 5.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $18$ .

$\int \frac{3 u_{2}}{3 \cdot 6} d u_{2}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{3 u_{2}}{3 \cdot 6} d u_{2}$

Étape 5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{u_{2}}{6} d u_{2}$

Étape 6

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} \int u_{2} d u_{2}$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez $\frac{1}{6} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ comme $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 8.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{1}{12} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 9

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 9.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $9 {u_{1}}^{2} + 7$ .

$\frac{1}{12} {(9 {u_{1}}^{2} + 7)}^{2} + C$

Étape 9.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{x}{3}$ .

$\frac{1}{12} {(9 {(\frac{x}{3})}^{2} + 7)}^{2} + C$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{12} {(9 {(\frac{1}{3} x)}^{2} + 7)}^{2} + C$