Calcul infinitésimal Exemples

$\int e^{\frac{2 x}{3}} d x$

Étape 1

Laissez $u = \frac{2 x}{3}$ . Alors $d u = \frac{2}{3} d x$ , donc $\frac{3}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \frac{2 x}{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

Étape 1.1.2

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{2}{3}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{\frac{2}{3}} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{2}{3}$ .

$\int e^{u} (1 (\frac{3}{2})) d u$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$\int e^{u} \frac{3}{2} d u$

Étape 2.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{e^{u} \cdot 3}{2} d u$

Étape 2.4

Déplacez $3$ à gauche de $e^{u}$ .

$\int \frac{3 e^{u}}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{3}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{2} \int e^{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{3}{2} (e^{u} + C)$

Étape 5

Simplifiez

$\frac{3}{2} e^{u} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{3}{2} e^{\frac{2 x}{3}} + C$

Étape 7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} + C$