Calcul infinitésimal Exemples

$\int \cos^{2} (2 - 5 x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 2 - 5 x$ . Alors $d u_{1} = - 5 d x$ , donc $- \frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 2 - 5 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 5 x]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 1.1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$0 - 5$

Étape 1.1.4

Soustrayez $5$ de $0$ .

$- 5$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{- 5} d u_{1}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \cos^{2} (u_{1}) (- \frac{1}{5}) d u_{1}$

Étape 2.2

Associez $\cos^{2} (u_{1})$ et $\frac{1}{5}$ .

$\int - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{5} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Étape 5

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (u_{1})$ en $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$- \frac{1}{5} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 5} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$- \frac{1}{10} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- \frac{1}{10} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 10

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Alors $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 10.1

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Étape 10.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Étape 11

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Étape 13

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Étape 14

Simplifiez

$- \frac{1}{10} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Étape 15

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 15.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 - 5 x$ .

$- \frac{1}{10} (2 - 5 x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Étape 15.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 u_{1}$ .

$- \frac{1}{10} (2 - 5 x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Étape 15.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 - 5 x$ .

$- \frac{1}{10} (2 - 5 x + \frac{1}{2} \sin (2 (2 - 5 x))) + C$