Calcul infinitésimal Exemples

$- x y + 4 y^{2} - 3 = 5 x^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- x y + 4 y^{2} - 3) = \frac{d}{d x} (5 x^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x y + 4 y^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$- (x y' + y) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- (x y' + y) + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$- (x y' + y) + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (x y' + y) + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$- (x y' + y) + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- (x y' + y) + 4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$- (x y' + y) + 8 y y' + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (x y' + y) + 8 y y' + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (x y') - y + 8 y y' + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $- x y' - y + 8 y y'$ et $0$ .

$- x y' - y + 8 y y'$

Étape 2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x y' + 8 y y' - y$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (2 x)$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- x y' + 8 y y' - y = 10 x$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$- x y' + 8 y y' = 10 x + y$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $- x y' + 8 y y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $- x y'$ .

$y' (- x) + 8 y y' = 10 x + y$

Étape 5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $8 y y'$ .

$y' (- x) + y' (8 y) = 10 x + y$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- x) + y' (8 y)$ .

$y' (- x + 8 y) = 10 x + y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' (- x + 8 y) = 10 x + y$ par $- x + 8 y$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (- x + 8 y) = 10 x + y$ par $- x + 8 y$ .

$\frac{y' (- x + 8 y)}{- x + 8 y} = \frac{10 x}{- x + 8 y} + \frac{y}{- x + 8 y}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- x + 8 y$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- x + 8 y)}{- x + 8 y} = \frac{10 x}{- x + 8 y} + \frac{y}{- x + 8 y}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{10 x}{- x + 8 y} + \frac{y}{- x + 8 y}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{10 x + y}{- x + 8 y}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y' = \frac{10 x + y}{- (x) + 8 y}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $8 y$ .

$y' = \frac{10 x + y}{- (x) - (- 8 y)}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (- 8 y)$ .

$y' = \frac{10 x + y}{- (x - 8 y)}$

Étape 5.3.3.5

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.3.3.5.1

Réécrivez $- (x - 8 y)$ comme $- 1 (x - 8 y)$ .

$y' = \frac{10 x + y}{- 1 (x - 8 y)}$

Étape 5.3.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{10 x + y}{x - 8 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{10 x + y}{x - 8 y}$