Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 6} \frac{x^{2} + 4}{\sqrt{2 x + 5}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $6$ .

$\frac{lim_{x \to 6} x^{2} + 4}{lim_{x \to 6} \sqrt{2 x + 5}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $6$ .

$\frac{lim_{x \to 6} x^{2} + lim_{x \to 6} 4}{lim_{x \to 6} \sqrt{2 x + 5}}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} + lim_{x \to 6} 4}{lim_{x \to 6} \sqrt{2 x + 5}}$

Étape 4

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $6$ .

$\frac{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 4}{lim_{x \to 6} \sqrt{2 x + 5}}$

Étape 5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 4}{\sqrt{lim_{x \to 6} 2 x + 5}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $6$ .

$\frac{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 4}{\sqrt{lim_{x \to 6} 2 x + lim_{x \to 6} 5}}$

Étape 7

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 4}{\sqrt{2 lim_{x \to 6} x + lim_{x \to 6} 5}}$

Étape 8

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $6$ .

$\frac{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 4}{\sqrt{2 lim_{x \to 6} x + 5}}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $6$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $6$ pour $x$ .

$\frac{6^{2} + 4}{\sqrt{2 lim_{x \to 6} x + 5}}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $6$ pour $x$ .

$\frac{6^{2} + 4}{\sqrt{2 \cdot 6 + 5}}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{36 + 4}{\sqrt{2 \cdot 6 + 5}}$

Étape 10.1.2

Additionnez $36$ et $4$ .

$\frac{40}{\sqrt{2 \cdot 6 + 5}}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{40}{\sqrt{12 + 5}}$

Étape 10.2.2

Additionnez $12$ et $5$ .

$\frac{40}{\sqrt{17}}$

Étape 10.3

Multipliez $\frac{40}{\sqrt{17}}$ par $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\frac{40}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$

Étape 10.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.4.1

Multipliez $\frac{40}{\sqrt{17}}$ par $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\frac{40 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}}$

Étape 10.4.2

Élevez $\sqrt{17}$ à la puissance $1$ .

$\frac{40 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17}}$

Étape 10.4.3

Élevez $\sqrt{17}$ à la puissance $1$ .

$\frac{40 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1}}$

Étape 10.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{40 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}}$

Étape 10.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{40 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}}$

Étape 10.4.6

Réécrivez ${\sqrt{17}}^{2}$ comme $17$ .

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Étape 10.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{17}$ comme $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{40 \sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 10.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{40 \sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 10.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{40 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{40 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{40 \sqrt{17}}{17^{1}}$

Étape 10.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{40 \sqrt{17}}{17}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{40 \sqrt{17}}{17}$

Forme décimale :

$9.70142500 \dots$