Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x - e} + \ln (x) - \frac{x}{e}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x - e} + \ln (x) - \frac{x}{e}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x - e}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x - e}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x - e}]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x - e$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - e$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - e$ .

$e^{x - e} \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - e$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]$ .

$e^{x - e} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x - e} (1 + \frac{d}{d x} [- e]) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Étape 2.4

Comme $- e$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x - e} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Étape 2.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{x - e} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Étape 2.6

Multipliez $e^{x - e}$ par $1$ .

$e^{x - e} + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Étape 3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$ .

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Étape 4.1

Comme $- \frac{1}{e}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{e}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{e} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e} \cdot 1$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez des termes.

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Étape 5.1.1

Pour écrire $e^{x - e}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x - e} x}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$

Étape 5.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} - \frac{1}{e}$

Étape 5.1.3

Pour écrire $\frac{e^{x - e} x + 1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e}{e}$ .

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} \cdot \frac{e}{e} - \frac{1}{e}$

Étape 5.1.4

Pour écrire $- \frac{1}{e}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} \cdot \frac{e}{e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 5.1.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x e$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.1.5.1

Multipliez $\frac{e^{x - e} x + 1}{x}$ par $\frac{e}{e}$ .

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{x e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 5.1.5.2

Multipliez $\frac{1}{e}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{x e} - \frac{x}{e x}$

Étape 5.1.5.3

Réorganisez les facteurs de $x e$ .

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{e x} - \frac{x}{e x}$

Étape 5.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e - x}{e x}$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e (e^{x - e} x + 1) - x}{e x}$