Calcul infinitésimal Exemples

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 1}$

Étape 1

Comme $20$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 1}$ par rapport à $t$ est $20 \frac{d}{d t} [{(1 + e^{10 - t})}^{- 1}]$ .

$20 \frac{d}{d t} [{(1 + e^{10 - t})}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = 1 + e^{10 - t}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $1 + e^{10 - t}$ .

$20 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$20 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + e^{10 - t}$ .

$20 (- {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$- 20 ({(1 + e^{10 - t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + e^{10 - t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{10 - t}]$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{10 - t}])$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [e^{10 - t}])$

Étape 3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [e^{10 - t}]$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{10 - t}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = 10 - t$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $10 - t$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [10 - t])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [10 - t])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $10 - t$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} \frac{d}{d t} [10 - t])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 - t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t]))$

Étape 5.2

Comme $10$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $10$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (0 + \frac{d}{d t} [- t]))$

Étape 5.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} \frac{d}{d t} [- t])$

Étape 5.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 5.5

Multipliez $- 1$ par $- 20$ .

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (\frac{d}{d t} [t]))$

Étape 5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} \cdot 1)$

Étape 5.7

Multipliez $e^{10 - t}$ par $1$ .

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} e^{10 - t}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 \frac{1}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}} e^{10 - t}$

Étape 6.2

Associez des termes.

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Étape 6.2.1

Associez $20$ et $\frac{1}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}}$ .

$\frac{20}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}} e^{10 - t}$

Étape 6.2.2

Associez $\frac{20}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}}$ et $e^{10 - t}$ .

$\frac{20 e^{10 - t}}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}}$