Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} - \cos (x)}{x^{2}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x^{2}} - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x^{2}} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x^{2}} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0^{2}} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0^{2}} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.6.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{e^{0} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.6.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.6.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.6.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Étape 1.1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} - \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x^{2}} - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} (2 x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.4.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} (2 x) - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} (2 x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.4.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} (2 x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.5

Simplifiez

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Étape 1.3.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{x^{2}} x + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{2}} x + \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x e^{x^{2}} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x e^{x^{2}} + \sin (x)}{2 x}$

Étape 2

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x e^{x^{2}} + \sin (x)}{x}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x e^{x^{2}} + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2.4

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2.7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.2.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 0 \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 0 \cdot e^{0^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2.7.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 0 \cdot e^{0^{2}} + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.8.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot e^{0^{2}} + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2.8.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot e^{0} + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2.8.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2.8.1.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2.8.1.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2.8.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{2 x e^{x^{2}} + \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}} + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}} + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x e^{x^{2}} + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}]$ .

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Étape 3.3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x e^{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x e^{x^{2}} \cdot 2 x + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x e^{x^{2}} \cdot 2 x + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{1} x e^{x^{2}} \cdot 2 + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{1} x^{1} e^{x^{2}} \cdot 2 + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{1 + 1} e^{x^{2}} \cdot 2 + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.3.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} e^{x^{2}} \cdot 2 + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.3.10

Déplacez $2$ à gauche de $e^{x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} \cdot 2 \cdot e^{x^{2}} + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.3.11

Multipliez $e^{x^{2}}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} \cdot 2 e^{x^{2}} + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} \cdot 2 e^{x^{2}} + e^{x^{2}}) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.5

Simplifiez

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Étape 3.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x^{2} \cdot 2 e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 e^{x^{2}} x^{2} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 e^{x^{2}} x^{2} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)}{1}$

Étape 3.4

Divisez $4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 4 x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Étape 4.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 0} x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Étape 4.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Étape 4.5

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Étape 4.6

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Étape 4.7

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + 2 lim_{x \to 0} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Étape 4.8

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + 2 e^{lim_{x \to 0} x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Étape 4.9

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + 2 e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Étape 4.10

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + 2 e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + 2 e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0^{2} \cdot e^{0^{2}} + 2 e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0^{2} \cdot e^{0^{2}} + 2 e^{0^{2}} + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Étape 5.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0^{2} \cdot e^{0^{2}} + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0 \cdot e^{0^{2}} + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

Étape 6.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{1}{2} (0 \cdot e^{0^{2}} + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

Étape 6.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2} (0 \cdot e^{0} + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

Étape 6.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{2} (0 \cdot 1 + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

Étape 6.1.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

Étape 6.1.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 e^{0} + \cos (0))$

Étape 6.1.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot 1 + \cos (0))$

Étape 6.1.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 + \cos (0))$

Étape 6.1.9

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 + 1)$

Étape 6.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{1}{2} (2 + 1)$

Étape 6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3$

Étape 6.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $3$ .

$\frac{3}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3}{2}$

Forme décimale :

$1.5$