Calcul infinitésimal Exemples

$\int 3^{2 - 5 x} d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 - 5 x$ . Alors $d u = - 5 d x$ , donc $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 - 5 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 5 x]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 1.1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$0 - 5$

Étape 1.1.4

Soustrayez $5$ de $0$ .

$- 5$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int 3^{u} \cdot \frac{1}{- 5} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int 3^{u} \cdot (- \frac{1}{5}) d u$

Étape 2.2

Associez $3^{u}$ et $\frac{1}{5}$ .

$\int - \frac{3^{u}}{5} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{3^{u}}{5} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{5} \int 3^{u} d u)$

Étape 5

L’intégrale de $3^{u}$ par rapport à $u$ est $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$

Étape 6

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Étape 6.1

Réécrivez $- \frac{1}{5} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$ comme $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

Étape 6.2

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Étape 6.2.1

Multipliez $\frac{1}{\ln (3)}$ par $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{\ln (3) \cdot 5} \cdot 3^{u} + C$

Étape 6.2.2

Déplacez $5$ à gauche de $\ln (3)$ .

$- \frac{1}{5 \ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 - 5 x$ .

$- \frac{1}{5 \ln (3)} \cdot 3^{2 - 5 x} + C$