Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{x - 1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Étape 5

Retirez $x^{\frac{1}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x - 1) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Étape 6

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x - 1) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$\int (x - 1) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (x - 1) x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 7

Développez $(x - 1) x^{- \frac{1}{3}}$ .

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int x \cdot x^{- \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 7.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{1} x^{- \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{1 - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 7.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int x^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 7.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{3 - 1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 7.6

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Étape 12

Simplifiez

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$