Calcul infinitésimal Exemples

$\int {(2 + y^{2})}^{2} d y$

Étape 1

Développez ${(2 + y^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez ${(2 + y^{2})}^{2}$ comme $(2 + y^{2}) (2 + y^{2})$ .

$\int (2 + y^{2}) (2 + y^{2}) d y$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 2 (2 + y^{2}) + y^{2} (2 + y^{2}) d y$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int 2 \cdot 2 + 2 y^{2} + y^{2} (2 + y^{2}) d y$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int 2 \cdot 2 + 2 y^{2} + y^{2} \cdot 2 + y^{2} y^{2} d y$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $2$ .

$\int 2 \cdot 2 + 2 y^{2} + 2 \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} d y$

Étape 1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int 4 + 2 y^{2} + 2 y^{2} + y^{2} y^{2} d y$

Étape 1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 4 + 2 y^{2} + 2 y^{2} + y^{2 + 2} d y$

Étape 1.8

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int 4 + 2 y^{2} + 2 y^{2} + y^{4} d y$

Étape 1.9

Additionnez $2 y^{2}$ et $2 y^{2}$ .

$\int 4 + 4 y^{2} + y^{4} d y$

Étape 1.10

Remettez dans l’ordre $4 y^{2}$ et $y^{4}$ .

$\int 4 + y^{4} + 4 y^{2} d y$

Étape 1.11

Déplacez $4$ .

$\int y^{4} + 4 y^{2} + 4 d y$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y^{4} d y + \int 4 y^{2} d y + \int 4 d y$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{4}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + \int 4 y^{2} d y + \int 4 d y$

Étape 4

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 \int y^{2} d y + \int 4 d y$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 4 d y$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 4 y + C$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 (\frac{y^{3}}{3} + C) + 4 y + C$

Étape 7.2

Simplifiez

$\frac{y^{5}}{5} + \frac{4 y^{3}}{3} + 4 y + C$

Étape 7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{5} y^{5} + \frac{4}{3} y^{3} + 4 y + C$