Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} - \frac{1}{4}}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Étape 1.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}}$

Étape 1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 4 - 1}{4}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 2.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} (x + 2 x^{2}) \frac{4}{x^{2} \cdot 4 - 1}$

Étape 2.1.2

Multipliez $x + 2 x^{2}$ par $\frac{4}{x^{2} \cdot 4 - 1}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{(x + 2 x^{2}) \cdot 4}{x^{2} \cdot 4 - 1}$

Étape 2.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} \cdot 4 - 1}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 2 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 2 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Étape 3.1.2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 2 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Étape 3.1.2.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 2 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Étape 3.1.2.4

Évaluez les limites en insérant $- \frac{1}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- \frac{1}{2}$ pour $x$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Étape 3.1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- \frac{1}{2}$ pour $x$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(- \frac{1}{2})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Étape 3.1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.5.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.2.5.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Étape 3.1.2.5.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Étape 3.1.2.5.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \cdot 1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Étape 3.1.2.5.1.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Étape 3.1.2.5.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.5.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2^{2}$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Étape 3.1.2.5.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Étape 3.1.2.5.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{- \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Étape 3.1.2.5.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \frac{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Étape 3.1.2.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{\frac{- 1 + 1}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Étape 3.1.2.5.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$4 \frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Étape 3.1.2.5.4

Divisez $0$ par $2$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

Étape 3.1.3.1.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 \frac{0}{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

Étape 3.1.3.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$4 \frac{0}{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

Étape 3.1.3.1.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{0}{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- \frac{1}{2}$ pour $x$ .

$4 \frac{0}{4 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.3.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.3.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{0}{4 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.3.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{0}{4 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.3.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$4 \frac{0}{4 \cdot 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.3.1.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$4 \frac{0}{4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.3.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \frac{0}{4 \frac{1}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.3.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 \frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.3.1.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.1.3.3.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.3.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.3.1.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 \frac{0}{1 - 1}$

Étape 3.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$4 (\frac{0}{0})$

Étape 3.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$4 (\frac{0}{0})$

Étape 3.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$4 (\frac{0}{0})$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$4 (\frac{0}{0})$

Étape 3.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} \cdot 4 - 1} = lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Étape 3.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Étape 3.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + 2 \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Étape 3.3.4.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + 4 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Étape 3.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Étape 3.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} \cdot 4 - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4]$ .

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Étape 3.3.7.1

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [4 \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.3.7.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.3.7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{4 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.3.7.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{8 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{8 x + 0}$

Étape 3.3.9

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{8 x}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Placez le terme $\frac{1}{8}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 (\frac{1}{8}) lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{x}$

Étape 4.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

Étape 4.4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

Étape 4.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $- \frac{1}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- \frac{1}{2}$ pour $x$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- \frac{1}{2}$ pour $x$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$4 \frac{1}{4 (2)} \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{1}{4 \cdot 2} \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

Étape 6.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

Étape 6.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2} ((4 (- \frac{1}{2}) + 1) (- 1 \cdot 2))$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $2$ à partir de $(4 (- \frac{1}{2}) + 1) (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{1}{2} (2 ((4 (- \frac{1}{2}) + 1) \cdot (- 1)))$

Étape 6.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (2 ((4 (- \frac{1}{2}) + 1) \cdot (- 1)))$

Étape 6.3.3

Réécrivez l’expression.

$(4 (- \frac{1}{2}) + 1) \cdot (- 1)$

Étape 6.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$(- 4 (\frac{1}{2}) + 1) \cdot - 1$

Étape 6.5

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{- 4}{2} + 1) \cdot - 1$

Étape 6.6

Divisez $- 4$ par $2$ .

$(- 2 + 1) \cdot - 1$

Étape 6.7

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$- 1 \cdot - 1$

Étape 6.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1$