Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{3} {(x - 1)}^{2} + 2 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{3} {(x - 1)}^{2} d x + \int_{0}^{3} 2 d x$

Étape 2

Laissez $u = x - 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Étape 2.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 3 - 1$

Étape 2.5

Soustrayez $1$ de $3$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{- 1}^{2} u^{2} d u + \int_{0}^{3} 2 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{0}^{3} 2 d x$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{2} + 2 x]_{0}^{3}$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $\frac{1}{3} u^{3}$ sur $2$ et sur $- 1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 2 x]_{0}^{3}$

Étape 5.2

Évaluez $2 x$ sur $3$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Étape 5.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Étape 5.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1 + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Étape 5.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3}) + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Étape 5.3.5

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{8}{3} + \frac{1}{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Étape 5.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 + 1}{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Étape 5.3.7

Additionnez $8$ et $1$ .

$\frac{9}{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 5.3.8.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Étape 5.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Étape 5.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Étape 5.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{1} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Étape 5.3.8.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$3 + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Étape 5.3.9

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 + 6 - 2 \cdot 0$

Étape 5.3.10

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$3 + 6 + 0$

Étape 5.3.11

Additionnez $6$ et $0$ .

$3 + 6$

Étape 5.3.12

Additionnez $3$ et $6$ .

$9$

Étape 6