Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{x}}{\ln (2 - e^{x})}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Étape 1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Étape 1.1.2.1.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1 - e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 2 - e^{x})}$

Étape 1.1.3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} e^{x})}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{\ln (2 - lim_{x \to 0} e^{x})}$

Étape 1.1.3.1.4

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{0}{\ln (2 - e^{lim_{x \to 0} x})}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\ln (2 - e^{0})}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 - 1 \cdot 1)}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 - 1)}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Étape 1.1.3.3.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{x}}{\ln (2 - e^{x})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Étape 1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Étape 1.3.5

Soustrayez $e^{x}$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 2 - e^{x}$ .

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Étape 1.3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 - e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 - e^{x}]}$

Étape 1.3.6.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 - e^{x}]}$

Étape 1.3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 - e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} \frac{d}{d x} [2 - e^{x}]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}$

Étape 1.3.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}$

Étape 1.3.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} \frac{d}{d x} [- e^{x}]}$

Étape 1.3.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} (- \frac{d}{d x} [e^{x}])}$

Étape 1.3.11

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} (- e^{x})}$

Étape 1.3.12

Associez $\frac{1}{2 - e^{x}}$ et $e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{- \frac{e^{x}}{2 - e^{x}}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} - e^{x} (- \frac{2 - e^{x}}{e^{x}})$

Étape 1.5

Combinez les facteurs.

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} 1 e^{x} \frac{2 - e^{x}}{e^{x}}$

Étape 1.5.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} e^{x} \frac{2 - e^{x}}{e^{x}}$

Étape 1.5.3

Associez $e^{x}$ et $\frac{2 - e^{x}}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} (2 - e^{x})}{e^{x}}$

Étape 1.6

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 1.6.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} (2 - e^{x})}{e^{x}}$

Étape 1.6.2

Divisez $2 - e^{x}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 - e^{x}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} e^{x}$

Étape 2.2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 - lim_{x \to 0} e^{x}$

Étape 2.3

Placez la limite dans l’exposant.

$2 - e^{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 - e^{0}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$2 - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 - 1$

Étape 4.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$1$