Calcul infinitésimal Exemples

$4 x + 4 y^{2} + x^{2} = 0$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (4 x + 4 y^{2} + x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 4 y^{2} + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$4 + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$4 + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 + 4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$4 + 8 y y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 + 8 y y' + 2 x$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$8 y y' + 2 x + 4$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$8 y y' + 2 x + 4 = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$8 y y' + 4 = - 2 x$

Étape 5.1.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$8 y y' = - 2 x - 4$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $8 y y' = - 2 x - 4$ par $8 y$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $8 y y' = - 2 x - 4$ par $8 y$ .

$\frac{8 y y'}{8 y} = \frac{- 2 x}{8 y} + \frac{- 4}{8 y}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 y y'}{8 y} = \frac{- 2 x}{8 y} + \frac{- 4}{8 y}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{8 y} + \frac{- 4}{8 y}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{8 y} + \frac{- 4}{8 y}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{8 y} + \frac{- 4}{8 y}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $8$ .

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Étape 5.2.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{8 y} + \frac{- 4}{8 y}$

Étape 5.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8 y$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (4 y)} + \frac{- 4}{8 y}$

Étape 5.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (4 y)} + \frac{- 4}{8 y}$

Étape 5.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- x}{4 y} + \frac{- 4}{8 y}$

Étape 5.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x}{4 y} + \frac{- 4}{8 y}$

Étape 5.2.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $8$ .

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Étape 5.2.3.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y' = - \frac{x}{4 y} + \frac{4 (- 1)}{8 y}$

Étape 5.2.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8 y$ .

$y' = - \frac{x}{4 y} + \frac{4 (- 1)}{4 (2 y)}$

Étape 5.2.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{x}{4 y} + \frac{4 \cdot - 1}{4 (2 y)}$

Étape 5.2.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{x}{4 y} + \frac{- 1}{2 y}$

Étape 5.2.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x}{4 y} - \frac{1}{2 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{4 y} - \frac{1}{2 y}$