Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{(2 r - 1) \cos (\sqrt{3 {(2 r - 1)}^{2} + 6})}{\sqrt{3 {(2 r - 1)}^{2} + 6}} d r$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ . Alors $d u_{1} = (24 r - 12) d r$ , donc $\frac{1}{12} d u_{1} = (2 r - 1) d r$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d r}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ .

$\frac{d}{d r} [3 {(2 r - 1)}^{2} + 6]$

Étape 1.1.2

Réécrivez ${(2 r - 1)}^{2}$ comme $(2 r - 1) (2 r - 1)$ .

$\frac{d}{d r} [3 ((2 r - 1) (2 r - 1)) + 6]$

Étape 1.1.3

Développez $(2 r - 1) (2 r - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r - 1) - 1 (2 r - 1)) + 6]$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r - 1)) + 6]$

Étape 1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Étape 1.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 r \cdot r + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Étape 1.1.4.1.2

Multipliez $r$ par $r$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.1.2.1

Déplacez $r$ .

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 (r \cdot r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Étape 1.1.4.1.2.2

Multipliez $r$ par $r$ .

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 r^{2} + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Étape 1.1.4.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Étape 1.1.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Étape 1.1.4.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 2 r - 1 \cdot - 1) + 6]$

Étape 1.1.4.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 2 r + 1) + 6]$

Étape 1.1.4.2

Soustrayez $2 r$ de $- 2 r$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1) + 6]$

Étape 1.1.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 (4 r^{2} - 4 r + 1) + 6$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)] + \frac{d}{d r} [6]$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)] + \frac{d}{d r} [6]$

Étape 1.1.6

Évaluez $\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)]$ .

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Étape 1.1.6.1

Comme $3$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $3 (4 r^{2} - 4 r + 1)$ par rapport à $r$ est $3 \frac{d}{d r} [4 r^{2} - 4 r + 1]$ .

$3 \frac{d}{d r} [4 r^{2} - 4 r + 1] + \frac{d}{d r} [6]$

Étape 1.1.6.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 r^{2} - 4 r + 1$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [4 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]$ .

$3 (\frac{d}{d r} [4 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Étape 1.1.6.3

Comme $4$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $4 r^{2}$ par rapport à $r$ est $4 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$3 (4 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Étape 1.1.6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (4 (2 r) + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Étape 1.1.6.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $- 4 r$ par rapport à $r$ est $- 4 \frac{d}{d r} [r]$ .

$3 (4 (2 r) - 4 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Étape 1.1.6.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (4 (2 r) - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Étape 1.1.6.7

Comme $1$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $1$ par rapport à $r$ est $0$ .

$3 (4 (2 r) - 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

Étape 1.1.6.8

Multipliez $2$ par $4$ .

$3 (8 r - 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

Étape 1.1.6.9

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$3 (8 r - 4 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

Étape 1.1.6.10

Additionnez $8 r - 4$ et $0$ .

$3 (8 r - 4) + \frac{d}{d r} [6]$

Étape 1.1.7

Comme $6$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $6$ par rapport à $r$ est $0$ .

$3 (8 r - 4) + 0$

Étape 1.1.8

Simplifiez

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Étape 1.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (8 r) + 3 \cdot - 4 + 0$

Étape 1.1.8.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.8.2.1

Multipliez $8$ par $3$ .

$24 r + 3 \cdot - 4 + 0$

Étape 1.1.8.2.2

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$24 r - 12 + 0$

Étape 1.1.8.2.3

Additionnez $24 r - 12$ et $0$ .

$24 r - 12$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{12} d u_{1}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}}$ par $\frac{1}{12}$ .

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}} \cdot 12} d u_{1}$

Étape 2.2

Déplacez $12$ à gauche de $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{12 \sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{12}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{12}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Étape 4.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Étape 4.3

Retirez ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

Étape 4.4

Multipliez les exposants dans ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

Étape 4.4.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

Étape 4.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Étape 5

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Alors $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , donc $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 5.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 5.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 5.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 5.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 2}{2}}$

Étape 5.1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}}$

Étape 5.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 5.1.8

Simplifiez

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Étape 5.1.8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.8.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{12} \int 2 \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{12} (2 \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $2$ et $\frac{1}{12}$ .

$\frac{2}{12} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $12$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{6} (\sin (u_{2}) + C)$

Étape 9

Simplifiez

$\frac{1}{6} \sin (u_{2}) + C$

Étape 10

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 10.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ .

$\frac{1}{6} \sin ({(3 {(2 r - 1)}^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}) + C$