Calcul infinitésimal Exemples

$x = \frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (x) = \frac{d}{d y} (\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}})$

Étape 2

La dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $x'$ .

$x'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y^{4}}{4}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Étape 3.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{4}{4}$ et $y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3}}{4} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Étape 3.2.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y^{3}}{4} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Étape 3.2.5.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{1}{8 y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{1}{y^{2}}$ comme ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{- 1}$ et $g (y) = y^{2}$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y^{2}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{2}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Étape 3.3.5

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 3.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- y^{- 4} (2 y))$

Étape 3.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{- 4} y)$

Étape 3.3.7

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

Étape 3.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{1 - 4})$

Étape 3.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{- 3})$

Étape 3.3.10

Associez $- 2$ et $\frac{1}{8}$ .

$y^{3} + \frac{- 2}{8} y^{- 3}$

Étape 3.3.11

Associez $\frac{- 2}{8}$ et $y^{- 3}$ .

$y^{3} + \frac{- 2 y^{- 3}}{8}$

Étape 3.3.12

Placez $y^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y^{3} + \frac{- 2}{8 y^{3}}$

Étape 3.3.13

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $8$ .

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Étape 3.3.13.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y^{3} + \frac{2 (- 1)}{8 y^{3}}$

Étape 3.3.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8 y^{3}$ .

$y^{3} + \frac{2 (- 1)}{2 (4 y^{3})}$

Étape 3.3.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (4 y^{3})}$

Étape 3.3.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{3} + \frac{- 1}{4 y^{3}}$

Étape 3.3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x' = y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$

Étape 5

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$