Calcul infinitésimal Exemples

$- y = y^{3} - y^{2} + 3 x^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- y) = \frac{d}{d x} (y^{3} - y^{2} + 3 x^{3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} - y^{2} + 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 3.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$3 y^{2} y' - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 y^{2} y' - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$3 y^{2} y' - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 3.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 y^{2} y' - (2 y y') + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 3.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 y^{2} y' - 2 y y' + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 y^{2} y' - 2 y y' + 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 y^{2} y' - 2 y y' + 3 (3 x^{2})$

Étape 3.4.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$3 y^{2} y' - 2 y y' + 9 x^{2}$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$9 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 y y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- y' = 9 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 y y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Comme $y'$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$9 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 y y' = - y'$

Étape 5.2

Ajoutez $y'$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 y y' + y' = 0$

Étape 5.3

Soustrayez $9 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' - 2 y y' + y' = - 9 x^{2}$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $3 y^{2} y' - 2 y y' + y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 2 y y' + y' = - 9 x^{2}$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 y y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' = - 9 x^{2}$

Étape 5.4.3

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' = - 9 x^{2}$

Étape 5.4.4

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' \cdot 1 = - 9 x^{2}$

Étape 5.4.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 y^{2}) + y' (- 2 y)$ .

$y' (3 y^{2} - 2 y) + y' \cdot 1 = - 9 x^{2}$

Étape 5.4.6

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 y^{2} - 2 y) + y' \cdot 1$ .

$y' (3 y^{2} - 2 y + 1) = - 9 x^{2}$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (3 y^{2} - 2 y + 1) = - 9 x^{2}$ par $3 y^{2} - 2 y + 1$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (3 y^{2} - 2 y + 1) = - 9 x^{2}$ par $3 y^{2} - 2 y + 1$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 y + 1)}{3 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $3 y^{2} - 2 y + 1$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 y + 1)}{3 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{9 x^{2}}{3 y^{2} - 2 y + 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 x^{2}}{3 y^{2} - 2 y + 1}$