Calcul infinitésimal Exemples

$\int (\frac{15}{x^{4}} + \frac{8}{x^{5}}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int \frac{15}{x^{4}} + \frac{8}{x^{5}} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{15}{x^{4}} d x + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Étape 3

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , placez $15$ en dehors de l’intégrale.

$15 \int \frac{1}{x^{4}} d x + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $x^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$15 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 \int x^{4 \cdot - 1} d x + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Étape 4.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$15 \int x^{- 4} d x + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$15 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $x^{- 3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$15 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Étape 6.2

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Étape 7

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 8

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 8.1

Retirez $x^{5}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Étape 8.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Étape 8.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 \int x^{- 5} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

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Étape 10.1.1

Associez $x^{- 4}$ et $\frac{1}{4}$ .

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Étape 10.1.2

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Étape 10.2

Simplifiez

$\frac{- 5}{x^{3}} + 8 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{x^{3}} + 8 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Étape 10.3.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- \frac{5}{x^{3}} - 8 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Étape 10.3.3

Associez $- 8$ et $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$- \frac{5}{x^{3}} + \frac{- 8}{4 x^{4}} + C$

Étape 10.3.4

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $4$ .

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Étape 10.3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$- \frac{5}{x^{3}} + \frac{4 \cdot - 2}{4 x^{4}} + C$

Étape 10.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{4}$ .

$- \frac{5}{x^{3}} + \frac{4 \cdot - 2}{4 (x^{4})} + C$

Étape 10.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{5}{x^{3}} + \frac{4 \cdot - 2}{4 x^{4}} + C$

Étape 10.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{5}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{4}} + C$

Étape 10.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{x^{3}} - \frac{2}{x^{4}} + C$