Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (d x) d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez $d$ et $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$\int \frac{d}{2 \sqrt{x}} \cdot x d x$

Étape 4.2

Associez $\frac{d}{2 \sqrt{x}}$ et $x$ .

$\int \frac{d x}{2 \sqrt{x}} d x$

Étape 5

Comme $\frac{d}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{d}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{d}{2} \int \frac{x}{\sqrt{x}} d x$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{2} \int \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{2} \int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6.2.2

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{2} \int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{2} \int x^{1 - \frac{1}{2}} d x$

Étape 6.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Étape 6.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{2 - 1}{2}} d x$

Étape 6.2.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{2} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

Étape 8.2

Réécrivez $\frac{d}{2} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$ comme $\frac{1}{2} d \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} d \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $d$ .

$\frac{d}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.3.2

Multipliez $\frac{d}{2}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{d \cdot 2}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{d \cdot 2}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.3.4

Déplacez $2$ à gauche de $d$ .

$\frac{2 \cdot d}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.3.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 8.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 d$ .

$\frac{2 (d)}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 d}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 d}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.3.6

Associez $\frac{d}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

$\frac{1}{3} d x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (d x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} d x^{\frac{3}{2}} + C$