Calcul infinitésimal Exemples

$y = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$

Étape 1.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$ .

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Étape 1.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $x$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3 x}{2})]$

Étape 1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cos (\frac{3 x}{2})$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 x}{2})]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 x}{2})]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{3 x}{2}$ .

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Étape 1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{3 x}{2}$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Étape 1.2.3.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$0 + 3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Étape 1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{3 x}{2}$ .

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Étape 1.2.4

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) (\frac{3}{2} \cdot 1))$

Étape 1.2.6

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{3}{2})$

Étape 1.2.7

Associez $\frac{3}{2}$ et $\sin (\frac{3 x}{2})$ .

$0 + 3 (- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2})$

Étape 1.2.8

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$0 - 3 \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Étape 1.2.9

Associez $- 3$ et $\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ .

$0 + \frac{- 3 (3 \sin (\frac{3 x}{2}))}{2}$

Étape 1.2.10

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$0 + \frac{- 9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Étape 1.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Étape 1.3

Soustrayez $\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ de $0$ .

$- \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- \frac{9}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{3 x}{2})]$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} \sin (\frac{3 x}{2})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{3 x}{2}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{3 x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{3 x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (\cos (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Associez $\cos (\frac{3 x}{2})$ et $\frac{9}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\cos (\frac{3 x}{2}) \cdot 9}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 x}{2}$

Étape 2.3.2

Déplacez $9$ à gauche de $\cos (\frac{3 x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{9 \cdot \cos (\frac{3 x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 x}{2}$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{9 \cos (\frac{3 x}{2})}{2} \cdot (\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.4

Associez les fractions.

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Étape 2.3.4.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{9 \cos (\frac{3 x}{2})}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (9 \cos (\frac{3 x}{2}))}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Étape 2.3.4.2

Multipliez.

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Étape 2.3.4.2.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Étape 2.3.4.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot 1$

Étape 2.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{4}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} = 0$

Étape 4

Définissez le numérateur égal à zéro.

$9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ par $9$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{9} = \frac{0}{9}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{9} = \frac{0}{9}$

Étape 5.1.2.1.2

Divisez $\sin (\frac{3 x}{2})$ par $1$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = \frac{0}{9}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.1

Divisez $0$ par $9$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Étape 5.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{3 x}{2} = \arcsin (0)$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$\frac{3 x}{2} = 0$

Étape 5.4

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 x = 0$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $3 x = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 0$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x = 0$

Étape 5.6

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$\frac{3 x}{2} = π - 0$

Étape 5.7

Résolvez $x$ .

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Étape 5.7.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Étape 5.7.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.7.2.1.1

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ .

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Étape 5.7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.7.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Étape 5.7.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Étape 5.7.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.7.2.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Étape 5.7.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Étape 5.7.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2}{3} (π - 0)$

Étape 5.7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.7.2.2.1

Simplifiez $\frac{2}{3} (π - 0)$ .

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Étape 5.7.2.2.1.1

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = \frac{2}{3} π$

Étape 5.7.2.2.1.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 5.8

La solution de l’équation est $\frac{3 x}{2} = 0$ .

$x = 0, \frac{2 π}{3}$

Étape 6

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{27 \cos (\frac{3 (0)}{2})}{4}$

Étape 7

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $2$ à partir de $3 (0)$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})}{4}$

Étape 7.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})}{4}$

Étape 7.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})}{4}$

Étape 7.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{27 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})}{4}$

Étape 7.1.2.4

Divisez $3 \cdot (0)$ par $1$ .

$- \frac{27 \cos (3 \cdot (0))}{4}$

Étape 7.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$- \frac{27 \cos (0)}{4}$

Étape 7.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- \frac{27 \cdot 1}{4}$

Étape 7.3

Multipliez $27$ par $1$ .

$- \frac{27}{4}$

Étape 8

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 9

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} \cdot (0))$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $0$ .

$f (0) = - 1 + 3 \cos (0)$

Étape 9.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (0) = - 1 + 3 \cdot 1$

Étape 9.2.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (0) = - 1 + 3$

Étape 9.2.2

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$f (0) = 2$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $2$ .

$y = 2$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{2 π}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{27 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})}{4}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 11.1

Associez $3$ et $\frac{2 π}{3}$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{4}$

Étape 11.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})}{4}$

Étape 11.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 11.3.1

Réduisez l’expression $\frac{6 π}{3}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 11.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 π$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{4}$

Étape 11.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})}{4}$

Étape 11.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})}{4}$

Étape 11.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})}{4}$

Étape 11.3.2

Divisez $2 π$ par $1$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{2 π}{2})}{4}$

Étape 11.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{27 \cos (\frac{2 π}{2})}{4}$

Étape 11.4.1.2

Divisez $π$ par $1$ .

$- \frac{27 \cos (π)}{4}$

Étape 11.4.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \frac{27 (- \cos (0))}{4}$

Étape 11.4.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- \frac{27 (- 1 \cdot 1)}{4}$

Étape 11.4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{27 \cdot - 1}{4}$

Étape 11.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.5.1

Multipliez $27$ par $- 1$ .

$- \frac{- 27}{4}$

Étape 11.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{27}{4}$

Étape 11.6

Multipliez $- - \frac{27}{4}$ .

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Étape 11.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{27}{4})$

Étape 11.6.2

Multipliez $\frac{27}{4}$ par $1$ .

$\frac{27}{4}$

Étape 12

$x = \frac{2 π}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{2 π}{3}$ est un minimum local

Étape 13

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 13.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2 π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} \cdot (\frac{2 π}{3}))$

Étape 13.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 13.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} \cdot \frac{2 π}{3})$

Étape 13.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 π))$

Étape 13.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (π)))$

Étape 13.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 π))$

Étape 13.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (π)$

Étape 13.2.1.3

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 (- \cos (0))$

Étape 13.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 (- 1 \cdot 1)$

Étape 13.2.1.5

Multipliez $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 13.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 13.2.1.5.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 - 3$

Étape 13.2.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 4$

Étape 13.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$y = - 4$

Étape 14

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} x)$ .

$(0, 2)$ est un maximum local

$(\frac{2 π}{3}, - 4)$ est un minimum local

Étape 15