Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 49} \frac{x (\sqrt{x} - 7)}{x - 49}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 49} x (\sqrt{x} - 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $49$ .

$\frac{lim_{x \to 49} x \cdot lim_{x \to 49} \sqrt{x} - 7}{lim_{x \to 49} x - 49}$

Étape 1.1.2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $49$ .

$\frac{lim_{x \to 49} x \cdot (lim_{x \to 49} \sqrt{x} - lim_{x \to 49} 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

Étape 1.1.2.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{lim_{x \to 49} x \cdot (\sqrt{lim_{x \to 49} x} - lim_{x \to 49} 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $x$ approche de $49$ .

$\frac{lim_{x \to 49} x \cdot (\sqrt{lim_{x \to 49} x} - 1 \cdot 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $49$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $49$ pour $x$ .

$\frac{49 \cdot (\sqrt{lim_{x \to 49} x} - 1 \cdot 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

Étape 1.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $49$ pour $x$ .

$\frac{49 \cdot (\sqrt{49} - 1 \cdot 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.6.1.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{49 \cdot (\sqrt{7^{2}} - 1 \cdot 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

Étape 1.1.2.6.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{49 \cdot (7 - 1 \cdot 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

Étape 1.1.2.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{49 \cdot (7 - 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

Étape 1.1.2.6.2

Soustrayez $7$ de $7$ .

$\frac{49 \cdot 0}{lim_{x \to 49} x - 49}$

Étape 1.1.2.6.3

Multipliez $49$ par $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 49} x - 49}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $49$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 49} x - lim_{x \to 49} 49}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $49$ qui est constante lorsque $x$ approche de $49$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 49} x - 1 \cdot 49}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $49$ pour $x$ .

$\frac{0}{49 - 1 \cdot 49}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $49$ .

$\frac{0}{49 - 49}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $49$ de $49$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 49} \frac{x (\sqrt{x} - 7)}{x - 49} = lim_{x \to 49} \frac{\frac{d}{d x} [x (\sqrt{x} - 7)]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{d}{d x} [x (\sqrt{x} - 7)]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{d}{d x} [x (x^{\frac{1}{2}} - 7)]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

$lim_{x \to 49} \frac{x \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7] + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{1}{2}} - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.11

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.12

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.13

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.14

Additionnez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$lim_{x \to 49} \frac{x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.15

Associez $x$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.16

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.17

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.17.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.3.17.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.17.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.17.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.17.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.17.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.18

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.19

Multipliez $x^{\frac{1}{2}} - 7$ par $1$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} - 7}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.20

Pour écrire $x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - 7}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.21

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - 7}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - 7}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.23

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.24

Additionnez $x^{\frac{1}{2}}$ et $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

Étape 1.3.25

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 49$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 49]$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 49]}$

Étape 1.3.26

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7}{1 + \frac{d}{d x} [- 49]}$

Étape 1.3.27

Comme $- 49$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 49$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7}{1 + 0}$

Étape 1.3.28

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7}{1}$

Étape 1.4

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 7}{1}$

Étape 1.5

Associez des termes.

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Étape 1.5.1

Pour écrire $- 7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 7 \cdot \frac{2}{2}}{1}$

Étape 1.5.2

Associez $- 7$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 \sqrt{x}}{2} + \frac{- 7 \cdot 2}{2}}{1}$

Étape 1.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 \sqrt{x} - 7 \cdot 2}{2}}{1}$

Étape 1.6

Divisez $\frac{3 \sqrt{x} - 7 \cdot 2}{2}$ par $1$ .

$lim_{x \to 49} \frac{3 \sqrt{x} - 7 \cdot 2}{2}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 49} 3 \sqrt{x} - 7 \cdot 2$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $49$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 49} 3 \sqrt{x} - lim_{x \to 49} 7 \cdot 2)$

Étape 2.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} (3 lim_{x \to 49} \sqrt{x} - lim_{x \to 49} 7 \cdot 2)$

Étape 2.4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{lim_{x \to 49} x} - lim_{x \to 49} 7 \cdot 2)$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $7 \cdot 2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $49$ .

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{lim_{x \to 49} x} - 7 \cdot 2)$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $49$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{49} - 7 \cdot 2)$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{7^{2}} - 7 \cdot 2)$

Étape 4.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{2} (3 \cdot 7 - 7 \cdot 2)$

Étape 4.1.3

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{1}{2} (21 - 7 \cdot 2)$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (21 - 14)$

Étape 4.2

Soustrayez $14$ de $21$ .

$\frac{1}{2} \cdot 7$

Étape 4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $7$ .

$\frac{7}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{7}{2}$

Forme décimale :

$3.5$