Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 12} \frac{12 - x}{4 x - 48}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 12} 12 - x}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $12$ .

$\frac{lim_{x \to 12} 12 - lim_{x \to 12} x}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $12$ qui est constante lorsque $x$ approche de $12$ .

$\frac{12 - lim_{x \to 12} x}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $12$ pour $x$ .

$\frac{12 - 12}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $12$ de $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 12} 4 x - lim_{x \to 12} 48}$

Étape 1.1.3.1.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 12} x - lim_{x \to 12} 48}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $48$ qui est constante lorsque $x$ approche de $12$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 12} x - 1 \cdot 48}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $12$ pour $x$ .

$\frac{0}{4 \cdot 12 - 1 \cdot 48}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Multipliez $4$ par $12$ .

$\frac{0}{48 - 1 \cdot 48}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $48$ .

$\frac{0}{48 - 48}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $48$ de $48$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 12} \frac{12 - x}{4 x - 48} = lim_{x \to 12} \frac{\frac{d}{d x} [12 - x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 12} \frac{\frac{d}{d x} [12 - x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 12} \frac{\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Étape 1.3.3

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 12} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 12} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 12} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 12} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Étape 1.3.5

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 48$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 48]$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 48]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 1.3.7.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 48]}$

Étape 1.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 48]}$

Étape 1.3.7.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4 + \frac{d}{d x} [- 48]}$

Étape 1.3.8

Comme $- 48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 48$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4 + 0}$

Étape 1.3.9

Additionnez $4$ et $0$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Évaluez la limite de $\frac{- 1}{4}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $12$ .

$\frac{- 1}{4}$

Étape 2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{4}$

Forme décimale :

$- 0.25$