Calcul infinitésimal Exemples

$\int 9 x^{2} \sqrt{x^{3} - 1} d x$

Étape 1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$9 \int x^{2} \sqrt{x^{3} - 1} d x$

Étape 2

Laissez $u = x^{3} - 1$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x^{3} - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x^{3} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$9 \int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 3

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$9 \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$9 (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u)$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $9$ .

$\frac{9}{3} \int \sqrt{u} d u$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 5.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3} \int \sqrt{u} d u$

Étape 5.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int \sqrt{u} d u$

Étape 5.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int \sqrt{u} d u$

Étape 5.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{1} \int \sqrt{u} d u$

Étape 5.1.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$3 \int \sqrt{u} d u$

Étape 5.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez $3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Associez $3$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 7.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2.3.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} - 1$ .

$2 {(x^{3} - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$