Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} d x$

Étape 1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Étape 2.2

Retirez $x^{\frac{1}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Étape 2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Réécrivez $\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$ comme $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6}{3 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 4.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6}{6} x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{6} x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 4.2.5

Multipliez $x^{\frac{2}{3}}$ par $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} + C$