Calcul infinitésimal Exemples

${(x y)}^{x} = e$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} ({(x y)}^{x}) = \frac{d}{d y} (e)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance généralisée qui indique que $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ est $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ où $f = x y$ et $g = x$ .

$\frac{d}{d y} [x y] (x {(x y)}^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = y$ .

$(x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) (x {(x y)}^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Étape 2.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x + y \frac{d}{d y} [x]) x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$(x + y x') x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Étape 2.5

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$(x + y x') x {(x y)}^{x - 1} + x' ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Étape 2.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Appliquez la règle de produit à $x y$ .

$(x + y x') x (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Étape 2.6.2

Appliquez la règle de produit à $x y$ .

$(x + y x') x (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Étape 2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Étape 2.6.4

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x^{1} x + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Étape 2.6.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x^{1} x^{1} + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Étape 2.6.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x^{1 + 1} + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Étape 2.6.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$(x^{2} + y x' x) x^{x - 1} y^{x - 1} + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Étape 2.6.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$

Étape 3

Comme $e$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $e$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez $x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{x - 1} y^{x - 1} x^{2} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Étape 5.1.1.2

Multipliez $x^{x - 1}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{2} x^{x - 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Étape 5.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + x - 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Étape 5.1.1.2.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Étape 5.1.1.3

Multipliez $x^{x - 1}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.3.1

Déplacez $x$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x \cdot x^{x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Étape 5.1.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{x - 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{1} x^{x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Étape 5.1.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{1 + x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Étape 5.1.1.3.3

Associez les termes opposés dans $1 + x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.3.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x + 0} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Étape 5.1.1.3.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Étape 5.1.1.4

Multipliez $y^{x - 1}$ par $y$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.4.1

Déplacez $y$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} (y \cdot y^{x - 1}) x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Étape 5.1.1.4.2

Multipliez $y$ par $y^{x - 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.4.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} (y^{1} y^{x - 1}) x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Étape 5.1.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{1 + x - 1} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Étape 5.1.1.4.3

Associez les termes opposés dans $1 + x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.4.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x + 0} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Étape 5.1.1.4.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Étape 5.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $x^{x + 1} y^{x - 1}$ des deux côtés de l’équation.

$x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Étape 5.3

Factorisez $x' x^{x} y^{x}$ à partir de $x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Factorisez $x' x^{x} y^{x}$ à partir de $x' x^{x} y^{x}$ .

$x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Étape 5.3.2

Factorisez $x' x^{x} y^{x}$ à partir de $x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ .

$x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Étape 5.3.3

Factorisez $x' x^{x} y^{x}$ à partir de $x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ .

$x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$ par $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$ par $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ .

$\frac{x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' y^{x} (1 + \ln (x y))}{y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' y^{x} (1 + \ln (x y))}{y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Étape 5.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' (1 + \ln (x y))}{1 + \ln (x y)} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Étape 5.4.2.3

Annulez le facteur commun de $1 + \ln (x y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (1 + \ln (x y))}{1 + \ln (x y)} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Étape 5.4.2.3.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1

Annulez le facteur commun à $x^{x + 1}$ et $x^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.1

Factorisez $x^{x}$ à partir de $- x^{x + 1} y^{x - 1}$ .

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Étape 5.4.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.2.1

Factorisez $x^{x}$ à partir de $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ .

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} (y^{x} (1 + \ln (x y)))}$

Étape 5.4.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} (y^{x} (1 + \ln (x y)))}$

Étape 5.4.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{- x y^{x - 1}}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Étape 5.4.3.2

Annulez le facteur commun à $y^{x - 1}$ et $y^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.2.1

Factorisez $y^{x}$ à partir de $- x y^{x - 1}$ .

$x' = \frac{y^{x} (- x y^{- 1})}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Étape 5.4.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{y^{x} (- x y^{- 1})}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Étape 5.4.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{- x y^{- 1}}{1 + \ln (x y)}$

Étape 5.4.3.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.3.1

Placez $y^{- 1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x' = \frac{- x}{(1 + \ln (x y)) y}$

Étape 5.4.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{x}{(1 + \ln (x y)) y}$

Étape 5.4.3.3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{x}{(1 + \ln (x y)) y}$ .

$x' = - \frac{x}{y (1 + \ln (x y))}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y (1 + \ln (x y))}$