Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 x + 1}{2 x - 3}$

Étape 1

Écrivez $\frac{2 x + 1}{2 x - 3}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{2 x + 1}{2 x - 3}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{2 x + 1}{2 x - 3} d x$

Étape 4

Divisez $2 x + 1$ par $2 x - 3$ .

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Étape 4.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$3$

$2 x$

$1$

Étape 4.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$1$
	$2 x$	-	$3$		$2 x$	+	$1$

Étape 4.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$2 x$	-	$3$		$2 x$	+	$1$
			+	$2 x$	-	$3$

Étape 4.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x - 3$

				$1$
$2 x$	-	$3$		$2 x$	+	$1$
			-	$2 x$	+	$3$

Étape 4.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$2 x$	-	$3$		$2 x$	+	$1$
			-	$2 x$	+	$3$
					+	$4$

Étape 4.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 1 + \frac{4}{2 x - 3} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d x + \int \frac{4}{2 x - 3} d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$x + C + \int \frac{4}{2 x - 3} d x$

Étape 7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$x + C + 4 \int \frac{1}{2 x - 3} d x$

Étape 8

Laissez $u = 2 x - 3$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = 2 x - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $2 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Étape 8.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 8.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 8.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 8.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 8.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 8.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 8.1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 8.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x + C + 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x + C + 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 9.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$x + C + 4 \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x + C + 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$x + C + \frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x + C + \frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 11.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x + C + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 11.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x + C + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 11.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x + C + \frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 11.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$x + C + 2 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 12

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$x + C + 2 (\ln (| u |) + C)$

Étape 13

Simplifiez

$x + 2 \ln (| u |) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 3$ .

$x + 2 \ln (| 2 x - 3 |) + C$

Étape 15

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{2 x + 1}{2 x - 3}$ .

$F (x) =$ $x + 2 \ln (| 2 x - 3 |) + C$