Calcul infinitésimal Exemples

$- (x + 1) \sin (\frac{x^{2}}{2})$

Étape 1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (x + 1) \sin (\frac{x^{2}}{2})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [(x + 1) \sin (\frac{x^{2}}{2})]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) \sin (\frac{x^{2}}{2})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = \sin (\frac{x^{2}}{2})$ .

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x^{2}}{2})] + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{x^{2}}{2}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x^{2}}{2}$ .

$- ((x + 1) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 3.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$- ((x + 1) (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x^{2}}{2}$ .

$- ((x + 1) (\cos (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- ((x + 1) \cos (\frac{x^{2}}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 4.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (\frac{x^{2}}{2})$ .

$- ((x + 1) \frac{\cos (\frac{x^{2}}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- ((x + 1) \frac{\cos (\frac{x^{2}}{2})}{2} (2 x) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 4.4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.4.1

Associez $2$ et $\frac{\cos (\frac{x^{2}}{2})}{2}$ .

$- ((x + 1) \frac{2 \cos (\frac{x^{2}}{2})}{2} x + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 4.4.2

Associez $x$ et $\frac{2 \cos (\frac{x^{2}}{2})}{2}$ .

$- ((x + 1) \frac{x (2 \cos (\frac{x^{2}}{2}))}{2} + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 4.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$- ((x + 1) \frac{x (2 \cos (\frac{x^{2}}{2}))}{2} + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 4.4.3.2

Divisez $x (\cos (\frac{x^{2}}{2}))$ par $1$ .

$- ((x + 1) (x (\cos (\frac{x^{2}}{2}))) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 4.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- ((x + 1) x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 4.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- ((x + 1) x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) (1 + 0))$

Étape 4.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- ((x + 1) x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \cdot 1)$

Étape 4.8.2

Multipliez $\sin (\frac{x^{2}}{2})$ par $1$ .

$- ((x + 1) x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- ((x \cdot x + 1 x) \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}))$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (x \cdot x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + 1 x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}))$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (x \cdot x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - (1 x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

Étape 5.4

Associez des termes.

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Étape 5.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (x^{1} x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - (1 x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

Étape 5.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (x^{1} x^{1} \cos (\frac{x^{2}}{2})) - (1 x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

Étape 5.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (x^{1 + 1} \cos (\frac{x^{2}}{2})) - (1 x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

Étape 5.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- (x^{2} \cos (\frac{x^{2}}{2})) - (1 x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

Étape 5.4.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$- x^{2} \cos (\frac{x^{2}}{2}) - x \cos (\frac{x^{2}}{2}) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$