Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(\frac{1 - x^{2}}{1 - x})}^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \frac{1 - x^{2}}{1 - x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1 - x^{2}}{1 - x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{1 - x^{2}}{1 - x}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{1 - x^{2}}{1 - x}]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1 - x^{2}}{1 - x}$ .

$2 \frac{1 - x^{2}}{1 - x} \frac{d}{d x} [\frac{1 - x^{2}}{1 - x}]$

Étape 1.2

Associez $2$ et $\frac{1 - x^{2}}{1 - x}$ .

$\frac{2 (1 - x^{2})}{1 - x} \frac{d}{d x} [\frac{1 - x^{2}}{1 - x}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 - x^{2}$ et $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{2 (1 - x^{2})}{1 - x} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (1 - x^{2})}{1 - x} \cdot \frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (1 - x^{2})}{1 - x} \cdot \frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (1 - x^{2})}{1 - x} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [- x^{2}] - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 (1 - x^{2})}{1 - x} \cdot \frac{(1 - x) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 (1 - x^{2})}{1 - x} \cdot \frac{(1 - x) (- (2 x)) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (1 - x^{2})}{1 - x} \cdot \frac{(1 - x) (- 2 x) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 (1 - x^{2})}{1 - x} \cdot \frac{(1 - x) (- 2 x) - (1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (1 - x^{2})}{1 - x} \cdot \frac{(1 - x) (- 2 x) - (1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 (1 - x^{2})}{1 - x} \cdot \frac{(1 - x) (- 2 x) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (1 - x^{2})}{1 - x} \cdot \frac{(1 - x) (- 2 x) - (1 - x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.11

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.11.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 (1 - x^{2})}{1 - x} \cdot \frac{(1 - x) (- 2 x) + 1 (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.11.2

Multipliez $1 - x^{2}$ par $1$ .

$\frac{2 (1 - x^{2})}{1 - x} \cdot \frac{(1 - x) (- 2 x) + (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (1 - x^{2})}{1 - x} \cdot \frac{(1 - x) (- 2 x) + (1 - x^{2}) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.13

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.13.1

Multipliez $1 - x^{2}$ par $1$ .

$\frac{2 (1 - x^{2})}{1 - x} \cdot \frac{(1 - x) (- 2 x) + 1 - x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.13.2

Multipliez $\frac{2 (1 - x^{2})}{1 - x}$ par $\frac{(1 - x) (- 2 x) + 1 - x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) ((1 - x) (- 2 x) + 1 - x^{2})}{(1 - x) {(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.5

Multipliez $1 - x$ par ${(1 - x)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Multipliez $1 - x$ par ${(1 - x)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.1

Élevez $1 - x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) ((1 - x) (- 2 x) + 1 - x^{2})}{{(1 - x)}^{1} {(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (1 - x^{2}) ((1 - x) (- 2 x) + 1 - x^{2})}{{(1 - x)}^{1 + 2}}$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) ((1 - x) (- 2 x) + 1 - x^{2})}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})) ((1 - x) (- 2 x) + 1 - x^{2})}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})) (1 (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 - x^{2})}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.3.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(2 + 2 (- x^{2})) (1 (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 - x^{2})}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{(2 - 2 x^{2}) (1 (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 - x^{2})}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6.3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.3.2.1

Multipliez $- 2 x$ par $1$ .

$\frac{(2 - 2 x^{2}) (- 2 x - x (- 2 x) + 1 - x^{2})}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6.3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(2 - 2 x^{2}) (- 2 x - 1 \cdot - 2 x \cdot x + 1 - x^{2})}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6.3.2.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.3.2.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{(2 - 2 x^{2}) (- 2 x - 1 \cdot - 2 (x \cdot x) + 1 - x^{2})}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6.3.2.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{(2 - 2 x^{2}) (- 2 x - 1 \cdot - 2 x^{2} + 1 - x^{2})}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{(2 - 2 x^{2}) (- 2 x + 2 x^{2} + 1 - x^{2})}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6.3.3

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{(2 - 2 x^{2}) (- 2 x + x^{2} + 1)}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6.3.4

Développez $(2 - 2 x^{2}) (- 2 x + x^{2} + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{2 (- 2 x) + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 - 2 x^{2} (- 2 x) - 2 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6.3.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.3.5.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{- 4 x + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 - 2 x^{2} (- 2 x) - 2 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6.3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{- 4 x + 2 x^{2} + 2 - 2 x^{2} (- 2 x) - 2 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6.3.5.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 4 x + 2 x^{2} + 2 - 2 \cdot - 2 x^{2} x - 2 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6.3.5.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.3.5.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 4 x + 2 x^{2} + 2 - 2 \cdot - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6.3.5.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.3.5.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 4 x + 2 x^{2} + 2 - 2 \cdot - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6.3.5.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 4 x + 2 x^{2} + 2 - 2 \cdot - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6.3.5.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- 4 x + 2 x^{2} + 2 - 2 \cdot - 2 x^{3} - 2 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6.3.5.5

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{- 4 x + 2 x^{2} + 2 + 4 x^{3} - 2 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6.3.5.6

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.3.5.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{- 4 x + 2 x^{2} + 2 + 4 x^{3} - 2 (x^{2} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6.3.5.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 4 x + 2 x^{2} + 2 + 4 x^{3} - 2 x^{2 + 2} - 2 x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6.3.5.6.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{- 4 x + 2 x^{2} + 2 + 4 x^{3} - 2 x^{4} - 2 x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6.3.5.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{- 4 x + 2 x^{2} + 2 + 4 x^{3} - 2 x^{4} - 2 x^{2}}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6.3.6

Associez les termes opposés dans $- 4 x + 2 x^{2} + 2 + 4 x^{3} - 2 x^{4} - 2 x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.3.6.1

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x + 2 + 4 x^{3} - 2 x^{4} + 0}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6.3.6.2

Additionnez $- 4 x + 2 + 4 x^{3} - 2 x^{4}$ et $0$ .

$\frac{- 4 x + 2 + 4 x^{3} - 2 x^{4}}{{(1 - x)}^{3}}$

Étape 1.6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2 x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2}{{(- x + 1)}^{3}}$

Étape 1.6.5

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{4}$ .

$\frac{2 (- x^{4}) + 4 x^{3} - 4 x + 2}{{(- x + 1)}^{3}}$

Étape 1.6.5.2

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- x^{4}) + 2 (2 x^{3}) - 4 x + 2}{{(- x + 1)}^{3}}$

Étape 1.6.5.3

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{2 (- x^{4}) + 2 (2 x^{3}) + 2 (- 2 x) + 2}{{(- x + 1)}^{3}}$

Étape 1.6.5.4

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- x^{4}) + 2 (2 x^{3}) + 2 (- 2 x) + 2 (1)}{{(- x + 1)}^{3}}$

Étape 1.6.5.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{4}) + 2 (2 x^{3})$ .

$\frac{2 (- x^{4} + 2 x^{3}) + 2 (- 2 x) + 2 (1)}{{(- x + 1)}^{3}}$

Étape 1.6.5.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{4} + 2 x^{3}) + 2 (- 2 x)$ .

$\frac{2 (- x^{4} + 2 x^{3} - 2 x) + 2 (1)}{{(- x + 1)}^{3}}$

Étape 1.6.5.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{4} + 2 x^{3} - 2 x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- x^{4} + 2 x^{3} - 2 x + 1)}{{(- x + 1)}^{3}}$

Étape 1.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{4}$ .

$\frac{2 (- (x^{4}) + 2 x^{3} - 2 x + 1)}{{(- x + 1)}^{3}}$

Étape 1.6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (- (x^{4}) - (- 2 x^{3}) - 2 x + 1)}{{(- x + 1)}^{3}}$

Étape 1.6.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4}) - (- 2 x^{3})$ .

$\frac{2 (- (x^{4} - 2 x^{3}) - 2 x + 1)}{{(- x + 1)}^{3}}$

Étape 1.6.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- (x^{4} - 2 x^{3}) - (2 x) + 1)}{{(- x + 1)}^{3}}$

Étape 1.6.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4} - 2 x^{3}) - (2 x)$ .

$\frac{2 (- (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x) + 1)}{{(- x + 1)}^{3}}$

Étape 1.6.11

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x) - 1 (- 1))}{{(- x + 1)}^{3}}$

Étape 1.6.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1))}{{(- x + 1)}^{3}}$

Étape 1.6.13

Réécrivez $- (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1)$ comme $- 1 (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1))}{{(- x + 1)}^{3}}$

Étape 1.6.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{2 (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1)}{{(- x + 1)}^{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2 (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1)}{{(- x + 1)}^{3}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1}{{(- x + 1)}^{3}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1}{{(- x + 1)}^{3}}]$

Étape 2.2

$- 2 \frac{{(- x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1] - (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{3}]}{{({(- x + 1)}^{3})}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(- x + 1)}^{3})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{{(- x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1] - (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{3}]}{{(- x + 1)}^{3 \cdot 2}}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- 2 \frac{{(- x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1] - (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{3}]}{{(- x + 1)}^{6}}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 2 \frac{{(- x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{3}]}{{(- x + 1)}^{6}}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 2 \frac{{(- x + 1)}^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{3}]}{{(- x + 1)}^{6}}$

Étape 2.3.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 \frac{{(- x + 1)}^{3} (4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{3}]}{{(- x + 1)}^{6}}$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 2 \frac{{(- x + 1)}^{3} (4 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{3}]}{{(- x + 1)}^{6}}$

Étape 2.3.6

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- 2 \frac{{(- x + 1)}^{3} (4 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{3}]}{{(- x + 1)}^{6}}$

Étape 2.3.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{{(- x + 1)}^{3} (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{3}]}{{(- x + 1)}^{6}}$

Étape 2.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(- x + 1)}^{3} (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{3}]}{{(- x + 1)}^{6}}$

Étape 2.3.9

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 2 \frac{{(- x + 1)}^{3} (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{3}]}{{(- x + 1)}^{6}}$

Étape 2.3.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 \frac{{(- x + 1)}^{3} (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 + 0) - (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{3}]}{{(- x + 1)}^{6}}$

Étape 2.3.11

Additionnez $4 x^{3} - 6 x^{2} + 2$ et $0$ .

$- 2 \frac{{(- x + 1)}^{3} (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2) - (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{3}]}{{(- x + 1)}^{6}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = - x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x + 1$ .

$- 2 \frac{{(- x + 1)}^{3} (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2) - (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [- x + 1])}{{(- x + 1)}^{6}}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 2 \frac{{(- x + 1)}^{3} (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2) - (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [- x + 1])}{{(- x + 1)}^{6}}$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x + 1$ .

$- 2 \frac{{(- x + 1)}^{3} (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2) - (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) (3 {(- x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [- x + 1])}{{(- x + 1)}^{6}}$

Étape 2.5

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{{(- x + 1)}^{3} (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2) - 3 (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) ({(- x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [- x + 1])}{{(- x + 1)}^{6}}$

Étape 2.5.2

Factorisez ${(- x + 1)}^{2}$ à partir de ${(- x + 1)}^{3} (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2) - 3 (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) ({(- x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [- x + 1])$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Factorisez ${(- x + 1)}^{2}$ à partir de ${(- x + 1)}^{3} (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2)$ .

$- 2 \frac{{(- x + 1)}^{2} ((- x + 1) (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2)) - 3 (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) ({(- x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [- x + 1])}{{(- x + 1)}^{6}}$

Étape 2.5.2.2

Factorisez ${(- x + 1)}^{2}$ à partir de $- 3 (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) ({(- x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [- x + 1])$ .

$- 2 \frac{{(- x + 1)}^{2} ((- x + 1) (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2)) + {(- x + 1)}^{2} (- 3 (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [- x + 1]))}{{(- x + 1)}^{6}}$

Étape 2.5.2.3

Factorisez ${(- x + 1)}^{2}$ à partir de ${(- x + 1)}^{2} ((- x + 1) (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2)) + {(- x + 1)}^{2} (- 3 (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [- x + 1]))$ .

$- 2 \frac{{(- x + 1)}^{2} ((- x + 1) (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2) - 3 (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [- x + 1]))}{{(- x + 1)}^{6}}$

Étape 2.6

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Factorisez ${(- x + 1)}^{2}$ à partir de ${(- x + 1)}^{6}$ .

$- 2 \frac{{(- x + 1)}^{2} ((- x + 1) (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2) - 3 (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [- x + 1]))}{{(- x + 1)}^{2} {(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.6.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 \frac{{(- x + 1)}^{2} ((- x + 1) (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2) - 3 (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [- x + 1]))}{{(- x + 1)}^{2} {(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.6.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 \frac{(- x + 1) (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2) - 3 (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [- x + 1])}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 \frac{(- x + 1) (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2) - 3 (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{(- x + 1) (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2) - 3 (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \frac{(- x + 1) (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2) - 3 (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 \frac{(- x + 1) (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2) - 3 (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) (- 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 \frac{(- x + 1) (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2) - 3 (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) (- 1 + 0)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.12

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.12.1

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$- 2 \frac{(- x + 1) (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2) - 3 (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1) \cdot - 1}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.12.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$- 2 \frac{(- x + 1) (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2) + 3 (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.12.3

Associez $- 2$ et $\frac{(- x + 1) (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2) + 3 (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$ .

$\frac{- 2 ((- x + 1) (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2) + 3 (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1))}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.12.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 ((- x + 1) (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2) + 3 (x^{4} - 2 x^{3} + 2 x - 1))}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 ((- x + 1) (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2) + 3 x^{4} + 3 (- 2 x^{3}) + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 ((- x + 1) (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2)) + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.3.1.1

Développez $(- x + 1) (4 x^{3} - 6 x^{2} + 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$- \frac{2 (- x (4 x^{3}) - x (- 6 x^{2}) - x \cdot 2 + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 6 x^{2}) + 1 \cdot 2) + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.3.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{2 (- 1 \cdot 4 x \cdot x^{3} - x (- 6 x^{2}) - x \cdot 2 + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 6 x^{2}) + 1 \cdot 2) + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.3.1.2.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- \frac{2 (- 1 \cdot 4 (x^{3} x) - x (- 6 x^{2}) - x \cdot 2 + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 6 x^{2}) + 1 \cdot 2) + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.2.2.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.3.1.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 (- 1 \cdot 4 (x^{3} x^{1}) - x (- 6 x^{2}) - x \cdot 2 + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 6 x^{2}) + 1 \cdot 2) + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 (- 1 \cdot 4 x^{3 + 1} - x (- 6 x^{2}) - x \cdot 2 + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 6 x^{2}) + 1 \cdot 2) + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.2.2.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$- \frac{2 (- 1 \cdot 4 x^{4} - x (- 6 x^{2}) - x \cdot 2 + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 6 x^{2}) + 1 \cdot 2) + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- \frac{2 (- 4 x^{4} - x (- 6 x^{2}) - x \cdot 2 + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 6 x^{2}) + 1 \cdot 2) + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{2 (- 4 x^{4} - 1 \cdot - 6 x \cdot x^{2} - x \cdot 2 + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 6 x^{2}) + 1 \cdot 2) + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.2.5

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.3.1.2.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- \frac{2 (- 4 x^{4} - 1 \cdot - 6 (x^{2} x) - x \cdot 2 + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 6 x^{2}) + 1 \cdot 2) + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.2.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.3.1.2.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 (- 4 x^{4} - 1 \cdot - 6 (x^{2} x^{1}) - x \cdot 2 + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 6 x^{2}) + 1 \cdot 2) + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.2.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 (- 4 x^{4} - 1 \cdot - 6 x^{2 + 1} - x \cdot 2 + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 6 x^{2}) + 1 \cdot 2) + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.2.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{2 (- 4 x^{4} - 1 \cdot - 6 x^{3} - x \cdot 2 + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 6 x^{2}) + 1 \cdot 2) + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.2.6

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$- \frac{2 (- 4 x^{4} + 6 x^{3} - x \cdot 2 + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 6 x^{2}) + 1 \cdot 2) + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{2 (- 4 x^{4} + 6 x^{3} - 2 x + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 6 x^{2}) + 1 \cdot 2) + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.2.8

Multipliez $4 x^{3}$ par $1$ .

$- \frac{2 (- 4 x^{4} + 6 x^{3} - 2 x + 4 x^{3} + 1 (- 6 x^{2}) + 1 \cdot 2) + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.2.9

Multipliez $- 6 x^{2}$ par $1$ .

$- \frac{2 (- 4 x^{4} + 6 x^{3} - 2 x + 4 x^{3} - 6 x^{2} + 1 \cdot 2) + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.2.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{2 (- 4 x^{4} + 6 x^{3} - 2 x + 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2) + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.3

Additionnez $6 x^{3}$ et $4 x^{3}$ .

$- \frac{2 (- 4 x^{4} + 10 x^{3} - 2 x - 6 x^{2} + 2) + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 (- 4 x^{4}) + 2 (10 x^{3}) + 2 (- 2 x) + 2 (- 6 x^{2}) + 2 \cdot 2 + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.3.1.5.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + 2 (10 x^{3}) + 2 (- 2 x) + 2 (- 6 x^{2}) + 2 \cdot 2 + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.5.2

Multipliez $10$ par $2$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + 20 x^{3} + 2 (- 2 x) + 2 (- 6 x^{2}) + 2 \cdot 2 + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.5.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + 20 x^{3} - 4 x + 2 (- 6 x^{2}) + 2 \cdot 2 + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.5.4

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + 20 x^{3} - 4 x - 12 x^{2} + 2 \cdot 2 + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.5.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + 20 x^{3} - 4 x - 12 x^{2} + 4 + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.6

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + 20 x^{3} - 4 x - 12 x^{2} + 4 + 6 x^{4} + 2 (3 (- 2 x^{3})) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.7

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + 20 x^{3} - 4 x - 12 x^{2} + 4 + 6 x^{4} + 2 (- 6 x^{3}) + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.8

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + 20 x^{3} - 4 x - 12 x^{2} + 4 + 6 x^{4} - 12 x^{3} + 2 (3 (2 x)) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.9

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + 20 x^{3} - 4 x - 12 x^{2} + 4 + 6 x^{4} - 12 x^{3} + 2 (6 x) + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.10

Multipliez $6$ par $2$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + 20 x^{3} - 4 x - 12 x^{2} + 4 + 6 x^{4} - 12 x^{3} + 12 x + 2 (3 \cdot - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.11

Multipliez $2 (3 \cdot - 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.3.1.11.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + 20 x^{3} - 4 x - 12 x^{2} + 4 + 6 x^{4} - 12 x^{3} + 12 x + 2 \cdot - 3}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.1.11.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + 20 x^{3} - 4 x - 12 x^{2} + 4 + 6 x^{4} - 12 x^{3} + 12 x - 6}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.2

Additionnez $- 8 x^{4}$ et $6 x^{4}$ .

$- \frac{- 2 x^{4} + 20 x^{3} - 4 x - 12 x^{2} + 4 - 12 x^{3} + 12 x - 6}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.3

Soustrayez $12 x^{3}$ de $20 x^{3}$ .

$- \frac{- 2 x^{4} + 8 x^{3} - 4 x - 12 x^{2} + 4 + 12 x - 6}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.4

Additionnez $- 4 x$ et $12 x$ .

$- \frac{- 2 x^{4} + 8 x^{3} + 8 x - 12 x^{2} + 4 - 6}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.3.5

Soustrayez $6$ de $4$ .

$- \frac{- 2 x^{4} + 8 x^{3} + 8 x - 12 x^{2} - 2}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{4} + 8 x^{3} + 8 x - 12 x^{2} - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{4}$ .

$- \frac{2 (- x^{4}) + 8 x^{3} + 8 x - 12 x^{2} - 2}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8 x^{3}$ .

$- \frac{2 (- x^{4}) + 2 (4 x^{3}) + 8 x - 12 x^{2} - 2}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$- \frac{2 (- x^{4}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (4 x) - 12 x^{2} - 2}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.4.1.4

Factorisez $2$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- x^{4}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (4 x) + 2 (- 6 x^{2}) - 2}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.4.1.5

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$- \frac{2 (- x^{4}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (4 x) + 2 (- 6 x^{2}) + 2 (- 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.4.1.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{4}) + 2 (4 x^{3})$ .

$- \frac{2 (- x^{4} + 4 x^{3}) + 2 (4 x) + 2 (- 6 x^{2}) + 2 (- 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.4.1.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{4} + 4 x^{3}) + 2 (4 x)$ .

$- \frac{2 (- x^{4} + 4 x^{3} + 4 x) + 2 (- 6 x^{2}) + 2 (- 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.4.1.8

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{4} + 4 x^{3} + 4 x) + 2 (- 6 x^{2})$ .

$- \frac{2 (- x^{4} + 4 x^{3} + 4 x - 6 x^{2}) + 2 (- 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.4.1.9

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{4} + 4 x^{3} + 4 x - 6 x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$- \frac{2 (- x^{4} + 4 x^{3} + 4 x - 6 x^{2} - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{2 (- x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2} + 4 x - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{4}$ .

$- \frac{2 (- (x^{4}) + 4 x^{3} - 6 x^{2} + 4 x - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.6

Factorisez $- 1$ à partir de $4 x^{3}$ .

$- \frac{2 (- (x^{4}) - (- 4 x^{3}) - 6 x^{2} + 4 x - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4}) - (- 4 x^{3})$ .

$- \frac{2 (- (x^{4} - 4 x^{3}) - 6 x^{2} + 4 x - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- (x^{4} - 4 x^{3}) - (6 x^{2}) + 4 x - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4} - 4 x^{3}) - (6 x^{2})$ .

$- \frac{2 (- (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2}) + 4 x - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.10

Factorisez $- 1$ à partir de $4 x$ .

$- \frac{2 (- (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2}) - (- 4 x) - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2}) - (- 4 x)$ .

$- \frac{2 (- (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x) - 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.12

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- \frac{2 (- (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x) - 1 (1))}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x) - 1 (1)$ .

$- \frac{2 (- (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1))}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.14

Réécrivez $- (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1)$ comme $- 1 (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1)$ .

$- \frac{2 (- 1 (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1))}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{2 (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.16

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{2 (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 2.13.17

Multipliez $\frac{2 (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$ .

$\frac{2 (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1)}{{(- x + 1)}^{4}}$