Calcul infinitésimal Exemples

$3 {(x + 1)}^{2}$

Étape 1

Écrivez $3 {(x + 1)}^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = 3 {(x + 1)}^{2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 3 {(x + 1)}^{2} d x$

Étape 4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int {(x + 1)}^{2} d x$

Étape 5

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 \int u^{2} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ comme $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ .

$3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Étape 7.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 u^{3} + C$

Étape 7.2.3

Multipliez $u^{3}$ par $1$ .

$u^{3} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

${(x + 1)}^{3} + C$

Étape 9

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 3 {(x + 1)}^{2}$ .

$F (x) =$ ${(x + 1)}^{3} + C$