Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \arctan (2 x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \arctan (2 x)$ et $d v = 1$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{2}{4 x^{2} + 1} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $x$ et $\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x \cdot 2}{4 x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x}{4 x^{2} + 1} d x$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x)$

Étape 4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x$

Étape 5

Laissez $u = 4 x^{2} + 1$ . Alors $d u = 8 x d x$ , donc $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 4 x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 x + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$8 x$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 4 x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0^{2} + 1$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 5.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 4 x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1^{2} + 1$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 4 \cdot 1 + 1$

Étape 5.5.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Étape 5.5.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$u_{upper} = 5$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{8}$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Étape 6.2

Déplacez $8$ à gauche de $u$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{8 u} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u)$

Étape 8

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $- 2$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 2}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $8$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 (- 1)}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Étape 8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Étape 8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Étape 8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Étape 8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

Étape 10

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Étape 10.1

Évaluez $\arctan (2 x) x$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\arctan (2 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

Étape 10.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.1

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $5$ et sur $1$ .

$(\arctan (2 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 10.2.2

Multipliez.

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Étape 10.2.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\arctan (2) \cdot 1 - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 10.2.2.2

Multipliez $\arctan (2)$ par $1$ .

$\arctan (2) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 10.2.2.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$\arctan (2) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 10.2.3

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Étape 10.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\arctan (2) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 10.2.3.2

Multipliez $0$ par $\arctan (0)$ .

$\arctan (2) + 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 10.2.4

Additionnez $\arctan (2)$ et $0$ .

$\arctan (2) - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 10.3

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Étape 10.3.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (2) - \frac{1}{4} \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$

Étape 10.3.2

Associez $\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$ et $\frac{1}{4}$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{4}$

Étape 10.4

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Étape 10.4.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $5$ est $5$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{5}{| 1 |})}{4}$

Étape 10.4.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{5}{1})}{4}$

Étape 10.4.3

Divisez $5$ par $1$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (5)}{4}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\arctan (2) - \frac{\ln (5)}{4}$

Forme décimale :

$0.70478923 \dots$