Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (| 1 - x |)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = | 1 - x |$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $| 1 - x |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $| 1 - x |$ .

$\frac{1}{| 1 - x |} \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = 1 - x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 - x$ .

$\frac{1}{| 1 - x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [1 - x])$

Étape 2.2

La dérivée de $| u_{2} |$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| 1 - x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 - x$ .

$\frac{1}{| 1 - x |} (\frac{1 - x}{| 1 - x |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Étape 3

Multipliez $\frac{1 - x}{| 1 - x |}$ par $\frac{1}{| 1 - x |}$ .

$\frac{1 - x}{| 1 - x | | 1 - x |} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 4

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\frac{1 - x}{| (1 - x) (1 - x) |} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 5

Élevez $1 - x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{1} (1 - x) |} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 6

Élevez $1 - x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{1} {(1 - x)}^{1} |} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} (- 1 \cdot 1)$

Étape 14

Associez les fractions.

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Étape 14.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |} \cdot - 1$

Étape 14.2

Associez $\frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |}$ et $- 1$ .

$\frac{(1 - x) \cdot - 1}{| {(1 - x)}^{2} |}$

Étape 14.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.3.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $1 - x$ .

$\frac{- 1 \cdot (1 - x)}{| {(1 - x)}^{2} |}$

Étape 14.3.2

Réécrivez $- 1 (1 - x)$ comme $- (1 - x)$ .

$\frac{- (1 - x)}{| {(1 - x)}^{2} |}$

Étape 14.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1 - x}{| {(1 - x)}^{2} |}$