Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}}$

Étape 1

La fonction $G (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $g (x)$ .

$G (x) = \int g (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$G (x) = \int \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}} d x$

Étape 3

Retirez $x^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x^{2} + 3 x - 5) {(x^{4})}^{- 1} d x$

Étape 4

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} + 3 x - 5) x^{4 \cdot - 1} d x$

Étape 4.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int (x^{2} + 3 x - 5) x^{- 4} d x$

Étape 5

Développez $(x^{2} + 3 x - 5) x^{- 4}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{2} + 3 x) x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} x^{- 4} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{2 - 4} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

Étape 5.4

Soustrayez $4$ de $2$ .

$\int x^{- 2} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

Étape 5.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{- 2} + 3 (x^{1} x^{- 4}) - 5 x^{- 4} d x$

Étape 5.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{- 2} + 3 x^{1 - 4} - 5 x^{- 4} d x$

Étape 5.7

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\int x^{- 2} + 3 x^{- 3} - 5 x^{- 4} d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int 3 x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

Étape 8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$- x^{- 1} + C + 3 \int x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

Étape 10

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Étape 10.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

Étape 10.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

Étape 11

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 \int x^{- 4} d x$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Étape 13

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Étape 13.1

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Étape 13.1.1

Associez $x^{- 3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Étape 13.1.2

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Étape 13.2

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$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} - 5 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

Étape 13.3

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Étape 13.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + 5 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Étape 13.3.2

Associez $5$ et $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{3 x^{3}} + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $g (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}}$ .

$G (x) =$ $- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{3 x^{3}} + C$