Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} | x |$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = | x |$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [| x |] + | x | \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $| x |$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{| x |}$ .

$x^{2} \frac{x}{| x |} + | x | \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Associez $x^{2}$ et $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x^{2} x}{| x |} + | x | \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.1.4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} x^{1}}{| x |} + | x | \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2 + 1}}{| x |} + | x | \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x^{3}}{| x |} + | x | \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{| x |} + | x | (2 x)$

Étape 1.1.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{x^{3}}{| x |} + 2 x | x |$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{3}}{| x |} + 2 x | x |$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{| x |}] + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{| x |}] + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{| x |}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = | x |$ .

$\frac{| x | \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [| x |]}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [| x |]}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

Étape 1.2.2.3

La dérivée de $| x |$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - x^{3} \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

Étape 1.2.2.4

Associez $\frac{x}{| x |}$ et $x^{3}$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x \cdot x^{3}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

Étape 1.2.2.5

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.2.5.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.2.2.5.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{1} x^{3}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

Étape 1.2.2.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{1 + 3}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

Étape 1.2.2.5.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} [2 x | x |]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x | x |]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x | x |$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x | x |]$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 \frac{d}{d x} [x | x |]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = | x |$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (x \frac{d}{d x} [| x |] + | x | \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.3.3

La dérivée de $| x |$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (x \frac{x}{| x |} + | x | \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (x \frac{x}{| x |} + | x | \cdot 1)$

Étape 1.2.3.5

Associez $x$ et $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (\frac{x \cdot x}{| x |} + | x | \cdot 1)$

Étape 1.2.3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (\frac{x^{1} x}{| x |} + | x | \cdot 1)$

Étape 1.2.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (\frac{x^{1} x^{1}}{| x |} + | x | \cdot 1)$

Étape 1.2.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (\frac{x^{1 + 1}}{| x |} + | x | \cdot 1)$

Étape 1.2.3.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (\frac{x^{2}}{| x |} + | x | \cdot 1)$

Étape 1.2.3.10

Multipliez $| x |$ par $1$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 (\frac{x^{2}}{| x |} + | x |)$

Étape 1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 2 \frac{x^{2}}{| x |} + 2 | x |$

Étape 1.2.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.2.4.2.1

Associez $2$ et $\frac{x^{2}}{| x |}$ .

$\frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{2 x^{2}}{| x |} + 2 | x |$

Étape 1.2.4.2.2

Pour écrire $2 | x |$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{| x |}^{2}}{{| x |}^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{2 | x | {| x |}^{2}}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |} + 2 | x | {| x |}^{2}}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.2.4

Multipliez $| x |$ par ${| x |}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.4.2.4.1

Déplacez ${| x |}^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |} + 2 ({| x |}^{2} | x |)}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.2.4.2

Multipliez ${| x |}^{2}$ par $| x |$ .

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Étape 1.2.4.2.4.2.1

Élevez $| x |$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |} + 2 ({| x |}^{2} {| x |}^{1})}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |} + 2 {| x |}^{2 + 1}}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.2.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{| x | (3 x^{2}) - \frac{x^{4}}{| x |} + 2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{3 | x | x^{2} - \frac{x^{4}}{| x |} + 2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.1.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{- \frac{x^{4}}{| x |} + 2 {| x |}^{3} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.1.3

Pour écrire $2 {| x |}^{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{| x |}{| x |}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{- \frac{x^{4}}{| x |} + \frac{2 {| x |}^{3} | x |}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{- x^{4} + 2 {| x |}^{3} | x |}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.3.1.5.1

Multipliez ${| x |}^{3}$ par $| x |$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.4.3.1.5.1.1

Déplacez $| x |$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{- x^{4} + 2 (| x | {| x |}^{3})}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.1.5.1.2

Multipliez $| x |$ par ${| x |}^{3}$ .

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Étape 1.2.4.3.1.5.1.2.1

Élevez $| x |$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{- x^{4} + 2 ({| x |}^{1} {| x |}^{3})}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.1.5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{- x^{4} + 2 {| x |}^{1 + 3}}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.1.5.1.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{- x^{4} + 2 {| x |}^{4}}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.1.5.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{4}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{- x^{4} + 2 x^{4}}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.1.5.3

Additionnez $- x^{4}$ et $2 x^{4}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{4}}{| x |} + 3 x^{2} | x |}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.1.6

Pour écrire $3 x^{2} | x |$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{| x |}{| x |}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{4}}{| x |} + \frac{3 x^{2} | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{4} + 3 x^{2} | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.3.1.8.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} + 3 x^{2} | x | | x |$ .

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Étape 1.2.4.3.1.8.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} x^{2} + 3 x^{2} | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.1.8.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{2} | x | | x |$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (3 | x | | x |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.1.8.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} (3 | x | | x |)$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 | x | | x |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.1.8.2

Multipliez $3 | x | | x |$ .

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Étape 1.2.4.3.1.8.2.1

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 | x \cdot x |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.1.8.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 | x^{1} x |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.1.8.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 | x^{1} x^{1} |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.1.8.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 | x^{1 + 1} |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.1.8.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 | x^{2} |)}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.1.8.3

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} (x^{2} + 3 x^{2})}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.1.8.4

Additionnez $x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} \cdot 4 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.1.8.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.4.3.1.8.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2} x^{2} \cdot 4}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.1.8.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{2 + 2} \cdot 4}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.1.8.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{x^{4} \cdot 4}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $x^{4}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{4 x^{4}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{\frac{4 x^{4}}{| x |}}{x^{2}}$

Étape 1.2.4.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{4 x^{4}}{| x |} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.2.4.3.4

Associez.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{4 x^{4} \cdot 1}{| x | x^{2}}$

Étape 1.2.4.3.5

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x^{2}$ .

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Étape 1.2.4.3.5.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $4 x^{4} \cdot 1$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{x^{2} (4 x^{2} \cdot 1)}{| x | x^{2}}$

Étape 1.2.4.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.3.5.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $| x | x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{x^{2} (4 x^{2} \cdot 1)}{x^{2} | x |}$

Étape 1.2.4.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{x^{2} (4 x^{2} \cdot 1)}{x^{2} | x |}$

Étape 1.2.4.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{4 x^{2} \cdot 1}{| x |}$

Étape 1.2.4.3.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{| x |} + \frac{4 x^{2}}{| x |}$

Étape 1.2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x^{2} + 4 x^{2}}{| x |}$

Étape 1.2.4.5

Additionnez $2 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{2}}{| x |}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{6 x^{2}}{| x |}$ .

$\frac{6 x^{2}}{| x |}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{6 x^{2}}{| x |} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{6 x^{2}}{| x |} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$6 x^{2} = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $6 x^{2} = 0$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $6 x^{2} = 0$ par $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 2.3.1.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{6}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $6$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.3.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{6 x^{2}}{| x |} = 0$ vrai.

$Aucune solution$

Étape 3

Aucune valeur trouvée qui peut rendre la dérivée seconde égale à $0$ .

Aucun point d’inflexion