Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 (x^{2} - 9)}{x^{2} - 4}$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 (x^{2} - 9)}{x^{2} - 4}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 4}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 9$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9] - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 3.3

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4) (2 x + 0) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 4$ .

$2 \frac{2 \cdot (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 3.7

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 3.8

Associez les fractions.

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Étape 3.8.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 3.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 3.8.3

Associez $2$ et $\frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$\frac{2 (2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 (x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 9) x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 4.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot - 4 x) + 2 (- 2 x^{2} x) + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Associez les termes opposés dans $2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot - 4 x) + 2 (- 2 x^{2} x) + 2 (- 2 \cdot - 9 x)$ .

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Étape 4.6.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 (2 x^{2} x)$ et $2 (- 2 x^{2} x)$ .

$\frac{2 \cdot 2 x^{2} x + 2 (2 \cdot - 4 x) - 2 \cdot 2 x^{2} x + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 4.6.1.2

Soustrayez $2 \cdot 2 x^{2} x$ de $2 \cdot 2 x^{2} x$ .

$\frac{2 (2 \cdot - 4 x) + 0 + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 4.6.1.3

Additionnez $2 (2 \cdot - 4 x)$ et $0$ .

$\frac{2 (2 \cdot - 4 x) + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 4.6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.6.2.1

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{2 (- 8 x) + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 4.6.2.2

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$\frac{- 16 x + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 4.6.2.3

Multipliez $- 2$ par $- 9$ .

$\frac{- 16 x + 2 (18 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 4.6.2.4

Multipliez $18$ par $2$ .

$\frac{- 16 x + 36 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 4.6.3

Additionnez $- 16 x$ et $36 x$ .

$\frac{20 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 4.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{20 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Étape 4.7.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{20 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Étape 4.7.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{20 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$