Calcul infinitésimal Exemples

$y = (x^{3} + 4 + 5 x^{2}) \sin (x)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x^{3} + 4 + 5 x^{2}) \sin (x))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3} + 4 + 5 x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$(x^{3} + 4 + 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 + 5 x^{2}]$

Étape 3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$(x^{3} + 4 + 5 x^{2}) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 + 5 x^{2}]$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 4 + 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$(x^{3} + 4 + 5 x^{2}) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(x^{3} + 4 + 5 x^{2}) \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Étape 3.3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{3} + 4 + 5 x^{2}) \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Étape 3.3.4

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$(x^{3} + 4 + 5 x^{2}) \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Étape 3.3.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{3} + 4 + 5 x^{2}) \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{3} + 4 + 5 x^{2}) \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2} + 5 (2 x))$

Étape 3.3.7

Multipliez $2$ par $5$ .

$(x^{3} + 4 + 5 x^{2}) \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2} + 10 x)$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} \cos (x) + 4 \cos (x) + 5 x^{2} \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2} + 10 x)$

Étape 3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} \cos (x) + 4 \cos (x) + 5 x^{2} \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2}) + \sin (x) (10 x)$

Étape 3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{3} \cos (x) + 5 x^{2} \cos (x) + 3 x^{2} \sin (x) + 10 x \sin (x) + 4 \cos (x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = x^{3} \cos (x) + 5 x^{2} \cos (x) + 3 x^{2} \sin (x) + 10 x \sin (x) + 4 \cos (x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{3} \cos (x) + 5 x^{2} \cos (x) + 3 x^{2} \sin (x) + 10 x \sin (x) + 4 \cos (x)$