Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{y} - y}{y^{2}} d y$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} - y}{y^{2}} d y$

Étape 1.1.2

Factorisez $y^{\frac{1}{2}}$ à partir de $y^{\frac{1}{2}} - y$ .

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Étape 1.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - y}{y^{2}} d y$

Étape 1.1.2.2

Factorisez $y^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- y$ .

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})}{y^{2}} d y$

Étape 1.1.2.3

Factorisez $y^{\frac{1}{2}}$ à partir de $y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})$ .

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}{y^{2}} d y$

Étape 1.2

Placez $y^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2} y^{- \frac{1}{2}}} d y$

Étape 1.3

Multipliez $y^{2}$ par $y^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2 - \frac{1}{2}}} d y$

Étape 1.3.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

Étape 1.3.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

Étape 1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}} d y$

Étape 1.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{4 - 1}{2}}} d y$

Étape 1.3.5.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{3}{2}}} d y$

Étape 2

Retirez $y^{\frac{3}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) {(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d y$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d y$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d y$

Étape 3.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{- 3}{2}} d y$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{- \frac{3}{2}} d y$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{1}^{4} 1 y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Étape 4.2

Multipliez $y^{- \frac{3}{2}}$ par $1$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Étape 4.3

Factorisez le signe négatif.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - (y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}}) d y$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} d y$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1 - 3}{2}} d y$

Étape 4.6

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{- 2}{2}} d y$

Étape 4.7

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 4.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} d y$

Étape 4.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} d y$

Étape 4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} d y$

Étape 4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{- 1}{1}} d y$

Étape 4.7.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{- 1} d y$

Étape 4.8

Remettez dans l’ordre $y^{- \frac{3}{2}}$ et $- y^{- 1}$ .

$\int_{1}^{4} - y^{- 1} + y^{- \frac{3}{2}} d y$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{4} - y^{- 1} d y + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{1}^{4} y^{- 1} d y + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Étape 7

L’intégrale de $y^{- 1}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |)]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $y$ est $- 2 y^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\ln (| y |)]_{1}^{4}) + - 2 y^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1.1

Évaluez $\ln (| y |)$ sur $4$ et sur $1$ .

$- ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 1 |)) + - 2 y^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

Étape 9.1.2

Évaluez $- 2 y^{- \frac{1}{2}}$ sur $4$ et sur $1$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + - 2 \cdot 4^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Étape 9.1.3

Simplifiez

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Étape 9.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Étape 9.1.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Étape 9.1.3.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Étape 9.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Étape 9.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{1}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Étape 9.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Étape 9.1.3.6

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{- 2}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Étape 9.1.3.7

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 9.1.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Étape 9.1.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Étape 9.1.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Étape 9.1.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{- 1}{1} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Étape 9.1.3.7.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Étape 9.1.3.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2 \cdot 1$

Étape 9.1.3.9

Multipliez $2$ par $1$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2$

Étape 9.1.3.10

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + 1$

Étape 9.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 4 |}{| 1 |}) + 1$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$- \ln (\frac{4}{| 1 |}) + 1$

Étape 9.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$- \ln (\frac{4}{1}) + 1$

Étape 9.3.3

Divisez $4$ par $1$ .

$- \ln (4) + 1$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \ln (4) + 1$

Forme décimale :

$- 0.38629436 \dots$

Étape 11