Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4}{x^{5}} - {(1 - 2 x)}^{3}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{4}{x^{5}} - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{4}{x^{5}} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Étape 4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int \frac{1}{x^{5}} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $x^{5}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$4 \int {(x^{5})}^{- 1} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{5 \cdot - 1} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Étape 5.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$4 \int x^{- 5} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$4 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $x^{- 4}$ et $\frac{1}{4}$ .

$4 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Étape 7.2

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Étape 9

Laissez $u = 1 - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 9.1

Laissez $u = 1 - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Étape 9.1.2

Différenciez.

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Étape 9.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 9.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 9.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 9.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 9.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Étape 9.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$0 - 2$

Étape 9.1.4

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- 2$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int u^{3} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 10

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Étape 10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int u^{3} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 10.2

Associez $u^{3}$ et $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int - \frac{u^{3}}{2} d u$

Étape 11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - - \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + 1 \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Étape 12.2

Multipliez $\int \frac{u^{3}}{2} d u$ par $1$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Étape 13

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \frac{1}{2} \int u^{3} d u$

Étape 14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Simplifiez

$\frac{- 1}{x^{4}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4}) + C$

Étape 15.2

Simplifiez

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Étape 15.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4}) + C$

Étape 15.2.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $u^{4}$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{4}}{4} + C$

Étape 15.2.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{u^{4}}{4}$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{u^{4}}{2 \cdot 4} + C$

Étape 15.2.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{u^{4}}{8} + C$

Étape 16

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 2 x$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{{(1 - 2 x)}^{4}}{8} + C$

Étape 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{8} {(1 - 2 x)}^{4} + C$

Étape 18

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{4}{x^{5}} - {(1 - 2 x)}^{3}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{8} {(1 - 2 x)}^{4} + C$