Calcul infinitésimal Exemples

$j (x) = \frac{\sin^{5} (2 x)}{\cos^{5} (2 x)}$

Étape 1

Laissez $x = f (x)$ , prenez le logarithme naturel des deux côtés $\ln (x) = \ln (f (x))$ .

$\ln (j (x)) = \ln (\frac{\sin^{5} (2 x)}{\cos^{5} (2 x)})$

Étape 2

Développez le côté droit.

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Étape 2.1

Réécrivez $\ln (\frac{\sin^{5} (2 x)}{\cos^{5} (2 x)})$ comme $\ln (\sin^{5} (2 x)) - \ln (\cos^{5} (2 x))$ .

$\ln (j (x)) = \ln (\sin^{5} (2 x)) - \ln (\cos^{5} (2 x))$

Étape 2.2

Développez $\ln (\sin^{5} (2 x))$ en déplaçant $5$ hors du logarithme.

$\ln (j (x)) = 5 \ln (\sin (2 x)) - \ln (\cos^{5} (2 x))$

Étape 2.3

Développez $\ln (\cos^{5} (2 x))$ en déplaçant $5$ hors du logarithme.

$\ln (j (x)) = 5 \ln (\sin (2 x)) - (5 \ln (\cos (2 x)))$

Étape 2.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\ln (j (x)) = 5 \ln (\sin (2 x)) - 5 \ln (\cos (2 x))$

Étape 3

Différenciez l’expression en utilisant la règle d’enchaînement, sans oublier que $y$ est une fonction de $x$ .

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Étape 3.1

Différenciez le côté gauche de $\ln (j (x))$ en utilisant la règle d’enchaînement.

$\frac{x'}{x} = 5 \ln (\sin (2 x)) - 5 \ln (\cos (2 x))$

Étape 3.2

Différenciez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Différenciez $5 \ln (\sin (2 x)) - 5 \ln (\cos (2 x))$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{d}{d x} [5 \ln (\sin (2 x)) - 5 \ln (\cos (2 x))]$

Étape 3.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 \ln (\sin (2 x)) - 5 \ln (\cos (2 x))$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 \ln (\sin (2 x))] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (\cos (2 x))]$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{d}{d x} [5 \ln (\sin (2 x))] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (\cos (2 x))]$

Étape 3.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 \ln (\sin (2 x))]$ .

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Étape 3.2.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \ln (\sin (2 x))$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\ln (\sin (2 x))]$ .

$\frac{x'}{x} = 5 \frac{d}{d x} [\ln (\sin (2 x))] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (\cos (2 x))]$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sin (2 x)$ .

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Étape 3.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (2 x)$ .

$\frac{x'}{x} = 5 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (\cos (2 x))]$

Étape 3.2.3.2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{x'}{x} = 5 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (\cos (2 x))]$

Étape 3.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (2 x)$ .

$\frac{x'}{x} = 5 (\frac{1}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (\cos (2 x))]$

Étape 3.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$\frac{x'}{x} = 5 (\frac{1}{\sin (2 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])) + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (\cos (2 x))]$

Étape 3.2.3.3.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$\frac{x'}{x} = 5 (\frac{1}{\sin (2 x)} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])) + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (\cos (2 x))]$

Étape 3.2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$\frac{x'}{x} = 5 (\frac{1}{\sin (2 x)} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (\cos (2 x))]$

Étape 3.2.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x'}{x} = 5 (\frac{1}{\sin (2 x)} (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (\cos (2 x))]$

Étape 3.2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x'}{x} = 5 (\frac{1}{\sin (2 x)} (\cos (2 x) (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (\cos (2 x))]$

Étape 3.2.3.6

Convertissez de $\frac{1}{\sin (2 x)}$ à $\csc (2 x)$ .

$\frac{x'}{x} = 5 (\csc (2 x) (\cos (2 x) (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (\cos (2 x))]$

Étape 3.2.3.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{x'}{x} = 5 (\csc (2 x) (\cos (2 x) \cdot 2)) + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (\cos (2 x))]$

Étape 3.2.3.8

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$\frac{x'}{x} = 5 (\csc (2 x) (2 \cdot \cos (2 x))) + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (\cos (2 x))]$

Étape 3.2.3.9

Déplacez $2$ à gauche de $\csc (2 x)$ .

$\frac{x'}{x} = 5 (2 \cdot \csc (2 x) \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (\cos (2 x))]$

Étape 3.2.3.10

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{x'}{x} = 10 \csc (2 x) \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (\cos (2 x))]$

Étape 3.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 \ln (\cos (2 x))]$ .

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Étape 3.2.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 \ln (\cos (2 x))$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [\ln (\cos (2 x))]$ .

$\frac{x'}{x} = 10 \csc (2 x) \cos (2 x) - 5 \frac{d}{d x} [\ln (\cos (2 x))]$

Étape 3.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \cos (2 x)$ .

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Étape 3.2.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $\cos (2 x)$ .

$\frac{x'}{x} = 10 \csc (2 x) \cos (2 x) - 5 (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Étape 3.2.4.2.2

La dérivée de $\ln (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{1}{u_{3}}$ .

$\frac{x'}{x} = 10 \csc (2 x) \cos (2 x) - 5 (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Étape 3.2.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $\cos (2 x)$ .

$\frac{x'}{x} = 10 \csc (2 x) \cos (2 x) - 5 (\frac{1}{\cos (2 x)} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Étape 3.2.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.2.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $2 x$ .

$\frac{x'}{x} = 10 \csc (2 x) \cos (2 x) - 5 (\frac{1}{\cos (2 x)} (\frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 3.2.4.3.2

La dérivée de $\cos (u_{4})$ par rapport à $u_{4}$ est $- \sin (u_{4})$ .

$\frac{x'}{x} = 10 \csc (2 x) \cos (2 x) - 5 (\frac{1}{\cos (2 x)} (- \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 3.2.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $2 x$ .

$\frac{x'}{x} = 10 \csc (2 x) \cos (2 x) - 5 (\frac{1}{\cos (2 x)} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 3.2.4.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x'}{x} = 10 \csc (2 x) \cos (2 x) - 5 (\frac{1}{\cos (2 x)} (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))$

Étape 3.2.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x'}{x} = 10 \csc (2 x) \cos (2 x) - 5 (\frac{1}{\cos (2 x)} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)))$

Étape 3.2.4.6

Convertissez de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ à $\sec (2 x)$ .

$\frac{x'}{x} = 10 \csc (2 x) \cos (2 x) - 5 (\sec (2 x) (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)))$

Étape 3.2.4.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{x'}{x} = 10 \csc (2 x) \cos (2 x) - 5 (\sec (2 x) (- \sin (2 x) \cdot 2))$

Étape 3.2.4.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x'}{x} = 10 \csc (2 x) \cos (2 x) - 5 (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x)))$

Étape 3.2.4.9

Multipliez $- 2$ par $- 5$ .

$\frac{x'}{x} = 10 \csc (2 x) \cos (2 x) + 10 \sec (2 x) \sin (2 x)$

Étape 3.2.5

Simplifiez

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Étape 3.2.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x'}{x} = 10 \cos (2 x) \csc (2 x) + 10 \sec (2 x) \sin (2 x)$

Étape 3.2.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.5.2.1

Réécrivez $\csc (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{x'}{x} = 10 \cos (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)} + 10 \sec (2 x) \sin (2 x)$

Étape 3.2.5.2.2

Multipliez $10 \cos (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$ .

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Étape 3.2.5.2.2.1

Associez $\frac{1}{\sin (2 x)}$ et $10$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{10}{\sin (2 x)} \cos (2 x) + 10 \sec (2 x) \sin (2 x)$

Étape 3.2.5.2.2.2

Associez $\frac{10}{\sin (2 x)}$ et $\cos (2 x)$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{10 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} + 10 \sec (2 x) \sin (2 x)$

Étape 3.2.5.2.3

Réécrivez $\sec (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{x'}{x} = \frac{10 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} + 10 \frac{1}{\cos (2 x)} \sin (2 x)$

Étape 3.2.5.2.4

Associez $10$ et $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{10 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{10}{\cos (2 x)} \sin (2 x)$

Étape 3.2.5.2.5

Associez $\frac{10}{\cos (2 x)}$ et $\sin (2 x)$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{10 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{10 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$

Étape 3.2.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.5.3.1

Séparez les fractions.

$\frac{x'}{x} = \frac{10}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{10 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$

Étape 3.2.5.3.2

Convertissez de $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ à $\cot (2 x)$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{10}{1} \cot (2 x) + \frac{10 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$

Étape 3.2.5.3.3

Divisez $10$ par $1$ .

$\frac{x'}{x} = 10 \cot (2 x) + \frac{10 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$

Étape 3.2.5.3.4

Séparez les fractions.

$\frac{x'}{x} = 10 \cot (2 x) + \frac{10}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$

Étape 3.2.5.3.5

Convertissez de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ à $\tan (2 x)$ .

$\frac{x'}{x} = 10 \cot (2 x) + \frac{10}{1} \tan (2 x)$

Étape 3.2.5.3.6

Divisez $10$ par $1$ .

$\frac{x'}{x} = 10 \cot (2 x) + 10 \tan (2 x)$

Étape 4

Isolez $x'$ et remplacez la fonction d’origine pour $x$ du côté droit.

$x' = (10 \cot (2 x) + 10 \tan (2 x)) \frac{\sin^{5} (2 x)}{\cos^{5} (2 x)}$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Réécrivez $\cot (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$x' = (10 \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} + 10 \tan (2 x)) \frac{\sin^{5} (2 x)}{\cos^{5} (2 x)}$

Étape 5.1.2

Associez $10$ et $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$x' = (\frac{10 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} + 10 \tan (2 x)) \frac{\sin^{5} (2 x)}{\cos^{5} (2 x)}$

Étape 5.1.3

Réécrivez $\tan (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$x' = (\frac{10 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} + 10 \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}) \frac{\sin^{5} (2 x)}{\cos^{5} (2 x)}$

Étape 5.1.4

Associez $10$ et $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$x' = (\frac{10 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{10 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}) \frac{\sin^{5} (2 x)}{\cos^{5} (2 x)}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x' = \frac{10 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin^{5} (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} + \frac{10 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sin^{5} (2 x)}{\cos^{5} (2 x)}$

Étape 5.3

Associez.

$x' = \frac{10 \cos (2 x) \sin^{5} (2 x)}{\sin (2 x) \cos^{5} (2 x)} + \frac{10 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sin^{5} (2 x)}{\cos^{5} (2 x)}$

Étape 5.4

Associez.

$x' = \frac{10 \cos (2 x) \sin^{5} (2 x)}{\sin (2 x) \cos^{5} (2 x)} + \frac{10 \sin (2 x) \sin^{5} (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{5} (2 x)}$

Étape 5.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1

Annulez le facteur commun à $\cos (2 x)$ et $\cos^{5} (2 x)$ .

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Étape 5.5.1.1

Factorisez $\cos (2 x)$ à partir de $10 \cos (2 x) \sin^{5} (2 x)$ .

$x' = \frac{\cos (2 x) (10 \sin^{5} (2 x))}{\sin (2 x) \cos^{5} (2 x)} + \frac{10 \sin (2 x) \sin^{5} (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{5} (2 x)}$

Étape 5.5.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.1.2.1

Factorisez $\cos (2 x)$ à partir de $\sin (2 x) \cos^{5} (2 x)$ .

$x' = \frac{\cos (2 x) (10 \sin^{5} (2 x))}{\cos (2 x) (\sin (2 x) \cos^{4} (2 x))} + \frac{10 \sin (2 x) \sin^{5} (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{5} (2 x)}$

Étape 5.5.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{\cos (2 x) (10 \sin^{5} (2 x))}{\cos (2 x) (\sin (2 x) \cos^{4} (2 x))} + \frac{10 \sin (2 x) \sin^{5} (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{5} (2 x)}$

Étape 5.5.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{10 \sin^{5} (2 x)}{\sin (2 x) \cos^{4} (2 x)} + \frac{10 \sin (2 x) \sin^{5} (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{5} (2 x)}$

Étape 5.5.2

Annulez le facteur commun à $\sin^{5} (2 x)$ et $\sin (2 x)$ .

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Étape 5.5.2.1

Factorisez $\sin (2 x)$ à partir de $10 \sin^{5} (2 x)$ .

$x' = \frac{\sin (2 x) (10 \sin^{4} (2 x))}{\sin (2 x) \cos^{4} (2 x)} + \frac{10 \sin (2 x) \sin^{5} (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{5} (2 x)}$

Étape 5.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.2.2.1

Factorisez $\sin (2 x)$ à partir de $\sin (2 x) \cos^{4} (2 x)$ .

$x' = \frac{\sin (2 x) (10 \sin^{4} (2 x))}{\sin (2 x) (\cos^{4} (2 x))} + \frac{10 \sin (2 x) \sin^{5} (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{5} (2 x)}$

Étape 5.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{\sin (2 x) (10 \sin^{4} (2 x))}{\sin (2 x) \cos^{4} (2 x)} + \frac{10 \sin (2 x) \sin^{5} (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{5} (2 x)}$

Étape 5.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{10 \sin^{4} (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} + \frac{10 \sin (2 x) \sin^{5} (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{5} (2 x)}$

Étape 5.5.3

Multipliez $\sin (2 x)$ par $\sin^{5} (2 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.3.1

Déplacez $\sin^{5} (2 x)$ .

$x' = \frac{10 \sin^{4} (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} + \frac{10 (\sin^{5} (2 x) \sin (2 x))}{\cos (2 x) \cos^{5} (2 x)}$

Étape 5.5.3.2

Multipliez $\sin^{5} (2 x)$ par $\sin (2 x)$ .

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Étape 5.5.3.2.1

Élevez $\sin (2 x)$ à la puissance $1$ .

$x' = \frac{10 \sin^{4} (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} + \frac{10 (\sin^{5} (2 x) \sin^{1} (2 x))}{\cos (2 x) \cos^{5} (2 x)}$

Étape 5.5.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x' = \frac{10 \sin^{4} (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} + \frac{10 {\sin (2 x)}^{5 + 1}}{\cos (2 x) \cos^{5} (2 x)}$

Étape 5.5.3.3

Additionnez $5$ et $1$ .

$x' = \frac{10 \sin^{4} (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} + \frac{10 \sin^{6} (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{5} (2 x)}$

Étape 5.5.4

Multipliez $\cos (2 x)$ par $\cos^{5} (2 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.4.1

Multipliez $\cos (2 x)$ par $\cos^{5} (2 x)$ .

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Étape 5.5.4.1.1

Élevez $\cos (2 x)$ à la puissance $1$ .

$x' = \frac{10 \sin^{4} (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} + \frac{10 \sin^{6} (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos^{5} (2 x)}$

Étape 5.5.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x' = \frac{10 \sin^{4} (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} + \frac{10 \sin^{6} (2 x)}{{\cos (2 x)}^{1 + 5}}$

Étape 5.5.4.2

Additionnez $1$ et $5$ .

$x' = \frac{10 \sin^{4} (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} + \frac{10 \sin^{6} (2 x)}{\cos^{6} (2 x)}$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Multipliez par $1$ .

$x' = \frac{10 (\sin^{4} (2 x) \cdot 1)}{\cos^{4} (2 x)} + \frac{10 \sin^{6} (2 x)}{\cos^{6} (2 x)}$

Étape 5.6.2

Multipliez par $1$ .

$x' = \frac{10 (\sin^{4} (2 x) \cdot 1)}{\cos^{4} (2 x) \cdot 1} + \frac{10 \sin^{6} (2 x)}{\cos^{6} (2 x)}$

Étape 5.6.3

Séparez les fractions.

$x' = \frac{10 \cdot (1)}{1} \cdot \frac{\sin^{4} (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} + \frac{10 \sin^{6} (2 x)}{\cos^{6} (2 x)}$

Étape 5.6.4

Convertissez de $\frac{\sin^{4} (2 x)}{\cos^{4} (2 x)}$ à $\tan^{4} (2 x)$ .

$x' = \frac{10 \cdot (1)}{1} \tan^{4} (2 x) + \frac{10 \sin^{6} (2 x)}{\cos^{6} (2 x)}$

Étape 5.6.5

Multipliez $10$ par $1$ .

$x' = \frac{10}{1} \tan^{4} (2 x) + \frac{10 \sin^{6} (2 x)}{\cos^{6} (2 x)}$

Étape 5.6.6

Divisez $10$ par $1$ .

$x' = 10 \tan^{4} (2 x) + \frac{10 \sin^{6} (2 x)}{\cos^{6} (2 x)}$

Étape 5.6.7

Multipliez par $1$ .

$x' = 10 \tan^{4} (2 x) + \frac{10 (\sin^{6} (2 x) \cdot 1)}{\cos^{6} (2 x)}$

Étape 5.6.8

Multipliez par $1$ .

$x' = 10 \tan^{4} (2 x) + \frac{10 (\sin^{6} (2 x) \cdot 1)}{\cos^{6} (2 x) \cdot 1}$

Étape 5.6.9

Séparez les fractions.

$x' = 10 \tan^{4} (2 x) + \frac{10 \cdot (1)}{1} \cdot \frac{\sin^{6} (2 x)}{\cos^{6} (2 x)}$

Étape 5.6.10

Convertissez de $\frac{\sin^{6} (2 x)}{\cos^{6} (2 x)}$ à $\tan^{6} (2 x)$ .

$x' = 10 \tan^{4} (2 x) + \frac{10 \cdot (1)}{1} \tan^{6} (2 x)$

Étape 5.6.11

Multipliez $10$ par $1$ .

$x' = 10 \tan^{4} (2 x) + \frac{10}{1} \tan^{6} (2 x)$

Étape 5.6.12

Divisez $10$ par $1$ .

$x' = 10 \tan^{4} (2 x) + 10 \tan^{6} (2 x)$