Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{3} (t^{2} - 9) (4 - t^{2}) d t$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{2}^{3} t^{2} (4 - t^{2}) - 9 (4 - t^{2}) d t$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{2}^{3} t^{2} \cdot 4 + t^{2} (- t^{2}) - 9 (4 - t^{2}) d t$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{2}^{3} t^{2} \cdot 4 + t^{2} (- t^{2}) - 9 \cdot 4 - 9 (- t^{2}) d t$

Étape 1.4

Remettez dans l’ordre $t^{2}$ et $4$ .

$\int_{2}^{3} 4 \cdot t^{2} + t^{2} (- t^{2}) - 9 \cdot 4 - 9 (- t^{2}) d t$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $t^{2}$ et $- 1$ .

$\int_{2}^{3} 4 \cdot t^{2} - 1 \cdot t^{2} t^{2} - 9 \cdot 4 - 9 (- t^{2}) d t$

Étape 1.6

Factorisez le signe négatif.

$\int_{2}^{3} 4 t^{2} - (t^{2} t^{2}) - 9 \cdot 4 - 9 \cdot - 1 t^{2} d t$

Étape 1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{2}^{3} 4 t^{2} - t^{2 + 2} - 9 \cdot 4 - 9 \cdot - 1 t^{2} d t$

Étape 1.8

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int_{2}^{3} 4 t^{2} - t^{4} - 9 \cdot 4 - 9 \cdot - 1 t^{2} d t$

Étape 1.9

Multipliez $- 9$ par $4$ .

$\int_{2}^{3} 4 t^{2} - t^{4} - 36 - 9 \cdot - 1 t^{2} d t$

Étape 1.10

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$\int_{2}^{3} 4 t^{2} - t^{4} - 36 + 9 t^{2} d t$

Étape 1.11

Remettez dans l’ordre $4 t^{2}$ et $- t^{4}$ .

$\int_{2}^{3} - t^{4} + 4 t^{2} - 36 + 9 t^{2} d t$

Étape 1.12

Remettez dans l’ordre $- 36$ et $9 t^{2}$ .

$\int_{2}^{3} - t^{4} + 4 t^{2} + 9 t^{2} - 36 d t$

Étape 1.13

Déplacez $4 t^{2}$ .

$\int_{2}^{3} - t^{4} + 9 t^{2} + 4 t^{2} - 36 d t$

Étape 1.14

Additionnez $9 t^{2}$ et $4 t^{2}$ .

$\int_{2}^{3} - t^{4} + 13 t^{2} - 36 d t$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{2}^{3} - t^{4} d t + \int_{2}^{3} 13 t^{2} d t + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{2}^{3} t^{4} d t + \int_{2}^{3} 13 t^{2} d t + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{4}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} t^{5}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 13 t^{2} d t + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Étape 5

Associez $\frac{1}{5}$ et $t^{5}$ .

$- (\frac{t^{5}}{5}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 13 t^{2} d t + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Étape 6

Comme $13$ est constant par rapport à $t$ , placez $13$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{t^{5}}{5}]_{2}^{3}) + 13 \int_{2}^{3} t^{2} d t + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$- (\frac{t^{5}}{5}]_{2}^{3}) + 13 (\frac{1}{3} t^{3}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Étape 8

Associez $\frac{1}{3}$ et $t^{3}$ .

$- (\frac{t^{5}}{5}]_{2}^{3}) + 13 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} - 36 d t$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{t^{5}}{5}]_{2}^{3}) + 13 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{3}) + - 36 t]_{2}^{3}$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $\frac{t^{5}}{5}$ sur $3$ et sur $2$ .

$- ((\frac{3^{5}}{5}) - \frac{2^{5}}{5}) + 13 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{3}) + - 36 t]_{2}^{3}$

Étape 10.2

Évaluez $\frac{t^{3}}{3}$ sur $3$ et sur $2$ .

$- (\frac{3^{5}}{5} - \frac{2^{5}}{5}) + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + - 36 t]_{2}^{3}$

Étape 10.3

Évaluez $- 36 t$ sur $3$ et sur $2$ .

$- (\frac{3^{5}}{5} - \frac{2^{5}}{5}) + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4

Simplifiez

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Étape 10.4.1

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$- (\frac{243}{5} - \frac{2^{5}}{5}) + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.2

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$- (\frac{243}{5} - \frac{32}{5}) + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{243 - 32}{5} + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.4

Soustrayez $32$ de $243$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.5

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{27}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.6

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 10.4.6.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{9}{1} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.6.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (9 - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.7

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (9 - \frac{8}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.8

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.9

Associez $9$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{211}{5} + 13 \frac{9 \cdot 3 - 8}{3} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.11.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$- \frac{211}{5} + 13 \frac{27 - 8}{3} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.11.2

Soustrayez $8$ de $27$ .

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{19}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.12

Associez $13$ et $\frac{19}{3}$ .

$- \frac{211}{5} + \frac{13 \cdot 19}{3} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.13

Multipliez $13$ par $19$ .

$- \frac{211}{5} + \frac{247}{3} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.14

Pour écrire $- \frac{211}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{211}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{247}{3} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.15

Pour écrire $\frac{247}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{211}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{247}{3} \cdot \frac{5}{5} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.16

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.4.16.1

Multipliez $\frac{211}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{211 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{247}{3} \cdot \frac{5}{5} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.16.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$- \frac{211 \cdot 3}{15} + \frac{247}{3} \cdot \frac{5}{5} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.16.3

Multipliez $\frac{247}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{211 \cdot 3}{15} + \frac{247 \cdot 5}{3 \cdot 5} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.16.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$- \frac{211 \cdot 3}{15} + \frac{247 \cdot 5}{15} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 211 \cdot 3 + 247 \cdot 5}{15} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.18.1

Multipliez $- 211$ par $3$ .

$\frac{- 633 + 247 \cdot 5}{15} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.18.2

Multipliez $247$ par $5$ .

$\frac{- 633 + 1235}{15} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.18.3

Additionnez $- 633$ et $1235$ .

$\frac{602}{15} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.19

Multipliez $- 36$ par $3$ .

$\frac{602}{15} - 108 + 36 \cdot 2$

Étape 10.4.20

Multipliez $36$ par $2$ .

$\frac{602}{15} - 108 + 72$

Étape 10.4.21

Additionnez $- 108$ et $72$ .

$\frac{602}{15} - 36$

Étape 10.4.22

Pour écrire $- 36$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$\frac{602}{15} - 36 \cdot \frac{15}{15}$

Étape 10.4.23

Associez $- 36$ et $\frac{15}{15}$ .

$\frac{602}{15} + \frac{- 36 \cdot 15}{15}$

Étape 10.4.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{602 - 36 \cdot 15}{15}$

Étape 10.4.25

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.25.1

Multipliez $- 36$ par $15$ .

$\frac{602 - 540}{15}$

Étape 10.4.25.2

Soustrayez $540$ de $602$ .

$\frac{62}{15}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{62}{15}$

Forme décimale :

$4.1\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$4 \frac{2}{15}$

Étape 12