Calcul infinitésimal Exemples

$(x + 1) (x + 2)$

Étape 1

Écrivez $(x + 1) (x + 2)$ comme une fonction.

$f (x) = (x + 1) (x + 2)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int (x + 1) (x + 2) d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int x (x + 2) + 1 (x + 2) d x$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2) d x$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Étape 4.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $2$ .

$\int x \cdot x + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Étape 4.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{1} x + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Étape 4.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{1} x^{1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Étape 4.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{1 + 1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Étape 4.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int x^{2} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Étape 4.9

Multipliez $x$ par $1$ .

$\int x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2 d x$

Étape 4.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int x^{2} + 2 x + x + 2 d x$

Étape 4.11

Additionnez $2 x$ et $x$ .

$\int x^{2} + 3 x + 2 d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{2} d x + \int 3 x d x + \int 2 d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int 3 x d x + \int 2 d x$

Étape 7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int x d x + \int 2 d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 x + C$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C$

Étape 10.2

Simplifiez

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + C$

Étape 10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = (x + 1) (x + 2)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + C$